Шпаргалка по "Математике"

4.Верхие и нижние границы. Ограниченные множества.

 

Пусть А – подмножество чисел  R (А ⊆ R), а с – число (с ∈ R ), число с называется верхней границей мн-ва А если для любого числа а из мн-ва А выполняется неравенство а ≤ с  . 
Число с называется нижней границей множества, если для любого а ,выполняется неравенство а≥с 
Пусть A⊆R , множество А называется ограниченным сверху, если у него есть хотя бы одна верхняя граница и если множество имеет хоть одну нижнюю границу, оно ограничено снизу. 
Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. 
A,B ⊆ R     А левее В , если для любого а ∈ А и любого в ∈ В выполняется неравенство а≤в 
5.Свойство полноты. 
 
Каковы бы ни были непустые множества   и  , такие что для любых двух элементов   и   выполняется неравенство  , существует такое число  , что для всех   и  имеет место соотношение

А левее В , с ∈ R с – называется разделяющей точкой для А и В, если для любого а ∈ А и в ∈ В выполняется неравенство :

а≤ с  и с≥в , а ≤ с ≤ в 
Для любых двух непустых числовых множеств А и В ⊆ R ,таких что А левее В существует разделяющая точка. 
Пусть А непустое чистовое множество ограниченное сверху , тогда среди всех верхних границ множества А есть наименьшее. 
 
6. Точные границы 
Число M называется точной верхней границей

непустого множества A, если:

1) для любого числа  x ∈ A справедливо неравенство x ≤ M;

2) для каждого числа M’’ < M существует число x’’ ∈ A такое,

что М’’ < x’’ 
 
Число m называется точной верхней границей

непустого множества A, если:

1) для любого числа  x ∈ A справедливо неравенство m ≤ x;

2) для каждого числа m’’>m существует число x’’ ∈ A такое, 
что x’’< m’’ 
 
Обозначения точной верхней грани: M = sup x = sup A (x ∈ A) 
Обозначение точной нижней грани: m = inf x = inf A (x ∈ A)

 
Если множество представляет собой  конечный набор чисел, то

его точная верхняя грань  равна наибольшему, а точная нижняя

грань – наименьшему из этих чисел.

Если множество имеет  точную верхнюю грань, то оно ограничено сверху, а если имеет точную нижнюю грань, оно ограничено

снизу. Покажем, что в этих утверждениях ограниченность множества сверху, соответственно, снизу является не только необходимым, но и достаточным условием существования  точных граней. 

7.Теорема  вложенных промежутках. 

Для всякой системы вложенных отрезков 
[a₁,b₁] ⊃[a₂,b₂]⊃… ⊃[a_n,b_n] 
существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина  отрезков системы стремится к  нулю: 
 
                                                                                   

то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы. 
1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков   лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков  , поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка  , разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что   — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки   и  , принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров   выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого   для всех номеров  , начиная с некоторого будет выполняться неравенство

Взяв в этом неравенстве  , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью. 
8.Окрестности. 
Пусть   произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки   на числовой прямой (иногда говорят  -окрестностью) называется множество точек, удаленных от   не более чем на  , то есть  .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый  -шар с центром в точке  .

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению  окрестности окрестность должна включать и саму точку.

9.Предельные  точки множеств

a - предельная  точка множества A, если в любой  проколотой окрестности точки a есть точки из множества A.

1. Отрезок. Любая точка, лежащая вне отрезка, предельной не является. Множество предельных точек отрезка совпадает с самим отрезком.
2. Интервал. Множество предельных точек интервала   совпадает с отрезком  .
3. Предельные точки могут как принадлежать A, так и не принадлежать ему.
4. Если точка принадлежит множеству A, то она необязательно является предельной. Точки множества, не являющиеся предельными, называются изолированными.

10.Числовые  функции.График функции.Линии уровня

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел R или множества комплексных чисел C

 

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента X, а ординаты — соответствующими значениями функции Y

Обычно рассматриваются  графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного f: R→R, которые являются множеством точек плоскости R⊗R 
Линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x)называется вектор.

11.Определение предела функции. 
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. 
 
Пусть функция f задана на множестве Х ,пусть а – предельная точка мн-ва Х; Число А называется пределом функции в точке а ,если для любого числа E (положительного) вблизи точки а выполняется неравенство : |f(x)-A|<E 
Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности  , сходящейся к точке a, последовательность  сходится к L.  
12.Единственность предела. 
13.Определение бесконечно малых.Примеры. 
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. 
Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1
2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞. 
Если lim f(x)=0,то функция f называется бесконечно малой в точке а (при х стремящемся к а) 
Свойства бесконечно малых

1. Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
3. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
5. Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.
6. Бесконечно малая последовательность ограничена. 
7. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. 

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если   
                          lim a_n=∞ (при n. →∞) 
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если :                 lim f(x) = ∞ (при x→x₀₎

14. переформулировка определения предела в терминах бесконечно малых 
Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.

Если  , то  , где   – бесконечно малая величина. Или  .

Доказательство:

Допустим, что  , тогда  .

, значит  ,   – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x² + 1

 

 
16.Теорема  о пределе суммы 

Предел суммы есть сумма  пределов. 
Если lim_n→∞ x_n = a и lim_n→∞ y_n = b, то существует и предел последовательности {x_n +y_n}, причем lim_n→∞ (xn +yn) = a + b.

Доказательство. Пусть нам дано E> 0. Тогда ввиду определения предела существуют такие натуральные числа N₁ и N₂, что |x_n − a| < E/2,как только n > N₁ и |x_n −b| < E/2, как только n > N₂. Положим теперь N = max(N₁;N₂). Если теперь n > N, то

|(x_n+y_n)−(a+b)| = |(x_n−a)+(y_n−b)| ≤ |x_n−a|+|y_n−n| < E/2+E/2 = E

Это и означает, что lim_n→∞ (x_n + y_n) = a + b.

17.Теорема о пределе произведения. 
По лемме 1.7 последовательности {x_n} и {y_n} ограничены; тем самым существует такое число M > 0, что |x_n| ≤ M и

|x_n| ≤ M при всех n, а также |a| ≤ M, |b| ≤ M. Заметим, что

|x_ny_n − ab| = |x_ny_n − x_nb + x_nb − ab| = |x_n(y_n − b) + (xn − a)b| 6

≤ |x_n| · |y_n − b| + |x_n − a| · |b| ≤ M · |y_n − b| +M · |x_n − a|.

Зададимся произвольным E> 0; ввиду условия существует такое N₁,

что |x_n −a| < E/2M при n > N₁, а также такое N₂, что |y_n −a| < E/2M

при n > N₂. Если положить N = max(N₁;N₂), то при n > N имеем

|x_ny_n − ab| ≤ M · |y_n − b| +M · |x_n − a| < M · (E/2M) +M · (E/2M) = E;

18.Теорема о пределе частного.

19.Т е о  р е м а о с о х р  а н е н и и з н а к а .

Можно пропустить?. При рассмотрении предела функции

lim_{*→ μ} *(*) = * предельная точка аргумента – это значение, к которому стремится аргумент функции.

Т е о р е м а . (теорема о сохранении знака в окрестности предельной точки)

Если при *→ μ (μ –конечное или бесконечное) функция имеет (конечный или бесконечный определённого знака) предел

                                         lim_{*→ μ} *(*) = *,

то существует некоторая  проколотая окрестность μ, в которой функция f (x) имеет тот же знак, что и * .

Пояснение. Если, допустим, * = +∞ , то в некоторой окрестности μ функция f(x) будет положительной.

Говоря о пределе функции  при *→ μ мы всегда предполагаем, что функция определена в некоторой (двусторонней проколотой) окрестности μ. Если μ у нас с "плюсиком" или с "минусиком",

то мы предполагаем, что  функция определена в некоторой  определѐнной односторонней окрестности μ . Как мы уже отмечали, в серьёзных математических учебниках, правда, рассматривают более сложные ситуации.

20.Теорема  о предельном переходе в неравенстве

(о предельном переходе в неравенстве).

Если  в некоторой окрестности точки   (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие   и данные функции имеют в точке   пределы, то  .   На языке   и   Введем функцию  . Ясно, что   в окрестности т.  . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем  , но     

Следствие. Из теоремы вытекает, что если в некоторой окрестности   (кроме возможно самой этой точки) выполняется условие   (resp  ), то   (resp  , в предположении что предел $). (Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции) 

21.Теорема  о сжатой функции.

Теоремы о сжатой функции  и пределе монотонной огранич функции. Являются 2-мя признаками сужествования предела. О сжатой функции. Пусть ф-ии f₁(x),f₂(x),f₃(x) имеют общую область задания и f₁(x) ≤f₂(x) ≤f₃(x). Тогда, если при х→c функции f₁(x) и f₃(x) имеют пределом число l, то и f₂(x) имеет при х→с предел l.  Теорема о монотонной ограниченной функции. Пусть функция f(x) задана на промежутке [a,c). Если она возрастает и ограничена сверху на этом промежутке, то она имеет предел при x→c-0.

23.Односторонние  пределы 
Пусть переменная  x  стремится к  a, оставаясь больше  a, и при этом   . Тогда число  A  называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции     и обозначают любым из символических выражений 
                

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным  образом. В этом случае     при  x → a  со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции      в точке  a  необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

 

 

24.Бесконечные  пределы. 
Пусть f(x) — функция, определенная в некоторой проколотой

(двусторонней) окрестности  точки a. Запись lim_x→af(x) или f(x)→+∞ (при x→a)означает, что значения f(x) можно сделать как угодно большими числами, беря x в проколотой окрестности точки a достаточно малого радиуса.