Шпаргалка по "Математике"

P(AB)=P(A)·P(B/A)   

4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Формула полной вероятности.

Пусть нам требуется  найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним  из попарно несовместимых событий  Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу. События Н₁, Н₂, ..., Н_n будем называть гипотезами. Имеем А = АН₁ + АН₂ + ... + АН_n , причем АН₁, АН₂, ... АН_n попарно несовместимы. Применяя формулы (2.3) и (2.6), получим:

   (2.7)

 
Это есть формула полной вероятности. С ее помощью решается широкий  класс задач.  
Пример 48.Имеются 3 одинаковых коробки, содержащие по 20 лампочек. В 1-й коробке из них 2 бракованные лампочки, во второй - 4, в третьей - 5. Наугад выбирается коробка, а из нее наугад одна лампочка. Какова вероятность, что эта лампочка бракованная?  
Решение. А: "Взята бракованная лампочка". Возникают 3 ги-потезы:  
Н1:"Выбрана 1-я коробка", 
Н2:"Выбрана 2-я коробка",  
Н3:"Выбрана 3-я коробка".Поскольку все коробки одинаковые,  
P(H₁)=P(H₂)=P(H₃)=1 / 3.Находим условные вероятности.

По формуле  полной вероятности 
  
Ответ: 0,18  
Пример 49.Из полного набора костей домино извлечена одна кость. Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно приставить к первой согласно правилам игры.  
Решение. А: "Вторую кость можно приставить к первой". Если первая кость окажется дублем, вероятность события А будет меньше, чем если бы она была не дублем. Поэтому возникают две гипотезы:  
Н₁:"Первая кость-дубль",  
Н₂:"Первая кость-не дубль".  
Находим:   
Если первая кость - дубль, то найдутся 6 из 27 оставшихся костей, которые можно приставить к первой, а если не дубль, то их будет 12. Поэтому  По формуле полной вероятности 
  
Ответ: 7/18.

Формула Байеса

В тесной связи  с формулой полной вероятности находится  формула Байеса. Она относится  к той же ситуации, когда событие А наступает только вместе с одной из гипотез и позволяет оценить вероятность гипотезы после того, как событие А произошло.  
Пусть произведен опыт и наступило событие А. Мы не можем с точностью сказать, какая из гипотез осуществилась, однако можем найти вероятность каждой из них. По формуле (2.6) P(AH_i)=P(A)·P(H_i/A) = P(H_i)·P(A/H_i).Отсюда

   (2.8)

Это и есть формула  Байеса. Здесь Р(А) находится по формуле полной вероятности, H_i (i=1,2,...,n) - любая из гипотез, а Р(Н_i/А) - вероятность этой гипотезы при условии, что произошло событие А.  
Пример 50. В трех одинаковых ящиках находятся 6 белых и 4 черных, 7 белых и 3 черных, 8 белых шаров соответственно. Из произвольного ящика наугад выбирается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что этот шар вынут из второго ящика?  
Решение. Пусть Н₁,Н₂,Н₃- три гипотезы, что выбран 1-й, 2-й, 3-й ящик. Требуется найти вероятность второй гипотезы при условии, что событие А произошло, т.е. P(H₂/A).По формуле Байеса

 

Ответ: 7 / 23. 

5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Многоугольник распределения  вероятностей. Наивероятнейшее  число наступлений  события.

Формула Бернулли

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той  же вероятностью p может появиться некоторое событие А. Поставим задачу: найти вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно m раз. Обозначим А₁ - появление события А в 1-м испытании, А₂ - во 2-м испытании, и так далее. Непоявление события А в 1-м испытании обозначим   , во 2-м   и т.д. Событие, состоящее в появлении события А m раз в n испытаниях представится в виде суммы произведений вида  
. Если обозначить вероятность непоявления события А через q ,то вероятность каждого такого произведения равна, p^m · q^n-m,а всего их будет штук. Получим:

  

Это - формула  Бернулли. Здесь обозначено: P_n(m) вероятность появления события А m раз в n испытаниях, р - вероятность появ-ления события А в одном испытании, q = 1 - p.  
Пример 51. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах.  
Решение. n =6, m =5, p =0,8, q = 1 - 0,8 = 0,2.  
Ответ: 0,39  
Пример 52. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: 3 побед в 4 партиях или 5 побед в 8 партиях?  
Решение. р = 0,5; q = 0,5. 
  
  
Ответ: P₄(3) > P₈(5)

Число m₀ называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m₁=(n+1)p-1 и m₂=(n+1)p.  
      Если р≠0 и р≠1, то число m₀ можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m₀ ≤ np+p.

Задача 3 
Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель. 
Решение. Здесь n=25, p=0,7, q=0,3. Следовательно,

25·0,7-0,3 ≤ m₀ ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ m₀ ≤ 18,2.

Так как m - целое  число, то m₀=18. 

6. Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона.

Потоком событий  называется последовательность событий, происходящих один за другим в какие- то моменты времени. Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.

Если поток  событий стационарен, ординарен  и без последействий, то такой  поток называется простейшим (пуассоновским) потоком.            

 Это название  связано с тем, что в этом  случае число событий, попадающих  на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона.

Интенсивность потока λ — это  среднее число  событий в единицу  времени. Интенсивность  потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/Tн, где N — число событий, произошедших за время наблюдения Tн.

    Для простейшего потока вероятность  появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

 

    Асимптотическая формула Пуассона выводится из формулы Бернулли и после ряда преобразований выглядит следующим образом , где k – количество раз, которое произойдет редкое событие. λ =np

    Формула Пуассона применяется в ситуациях, когда не требуется высокая точность расчетов, а вероятность события p не велика.

7. Локальная теорема Лапласа.

    Если  вероятность p появления события Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность появления события Е в n испытаниях равно k раз приближенно равна значению функции:

    

    Созданы специальные таблицы значений функции в зависимости от величины t. t – стандартизированное значение.

    

    Пример: Найти вероятность того, что 80 из 1000 приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви p=0,11 (по данным из наблюдений за предыдущий период).

    1)

       

    Поскольку в функции  использована четная степень t – функция положительна, то есть .если х>4, то =0.

    

    Таким образом, только в 404 случаях из 1 млн. ровно 80 из 1000 посетителей приобретут мужскую обувь.

    2)

       

    Таким образом, в 242 случаях из 10000 ровно 120 из 1000 посетителей приобретут мужскую  обувь.

8. Интегральная теорема Лапласа.

    Локальная теорема Лапласа имеет важное значение, однако ее практическое значение ограничено. На практике важно знать  вероятность того, что событие  Е произойдет число раз, заданное в определенных пределах.

    Пример: Вероятность приобретения покупателями мужской обуви от 80 до 120 человек из 1000.

     , то есть, равна сумме вероятностей  несовместных событий покупки  1000 посетителей конкретного числа  пар обуви в пределах от 80 до 120 пар обуви.

    Каждое  из слагаемых определяется по локальной  формуле Лапласа. Высокая трудоемкость задачи очевидна, поэтому рациональным способом решения задачи является интегрирование локальной функции Лапласа.

    Если  вероятность p появления событий Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 , то

     , при этом

    

     .если х>5, то =0.

    Пример: от 80 до 120

    

    Таким образом, в 84 случаях из 100.

9. Понятие дискретной и непрерывной случайных величин. Способы задания дискретной случайной величины.

 

 Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.  
   В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные. 

Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество, т.е. множество, элементы которого могут быть занумерованы.

Законом (или рядом) распределения дискретной случайной величины x называется таблица, в которой перечислены все возможные значения x_1, x₂,…, x_n этой случайной величины и соответствующие им вероятности :

Здесь Если множество значений случайной величины счетно, то эта таблица является бесконечной справа, а сумма  

10. Числовые  характеристики дискретной случайной величины

 

Математическим  ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений на их вероятности.

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + ... + х_np_n    

 
   Теоретико-вероятностный смысл этой характеристики состоит в том, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений при достаточно большом числе испытаний.

Свойства  Математического ожидания:  
   1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.

М(с) = с