Шпаргалка по "Математике"

1. События и их классификация. Классическое и статистическое определение вероятности  случайного события.

Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно  провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Результат, исход испытания называется событием.

Случайное событие  - событие, которое может произойти, а может не произойти в результате приведенного испытания. Это означает, что событие происходит при наступлении только части всех возможных исходов. Такие исходы часто называют благоприятствующими наступлению события.

Невозможным называют событие, которое никогда не наступает при проведении данного испытания; его вероятность равна нулю. Наоборот, событие, которое обязательно наступит в данном испытании называется достоверным. Вероятность достоверного события равна единице.

События называют единственновозможными, если наступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

Классическое  определение вероятности:

Вероятностью  события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число  элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Статистическое определение вероятности:

Пусть А - случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Проведем это испытание n раз и пусть событие А произошло m раз. Составим отношение  
P·(A)= . Оно называется относительной частотой события А. Эта частота обладает свойством устойчивости: с увеличением количества опытов она приближается к некоторому постоянному числу, стабилизируясь около него. Данный факт служит основой для еще одного определения вероятности - статистического.  
Определение 2.6.Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.  
Таким образом, относительная частота приближенно равна вероятности и тем точнее, чем больше число испытаний. Поэтому на практике поступают следующим образом. Чтобы найти вероятность изготовления данным станком годной детали, проверяют некоторую партию, например, из 200 деталей и определяют количество годных. Допустим, их количество - 190. Относительная частота P·(A)= .Это число и принимают приближенно за вероятность нормальной работы станка. 
 

2. Комбинаторика. Выборки элементов. Размещения, перестановки, сочетания.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных  определенным условиям, которые можно  составить из элементов, безразлично  какой природы, заданного конечного  множества.

Общие правила комбинаторики

Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, называемых правилом суммы и правилом произведения. Прежде всего определимся в терминологии. Если имеется, к примеру, 5 шаров в ящике, то мы будем говорить, что один шар из ящика можно выбрать пятью способами.

Правило суммы. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В-k способами,то объект "А или В" можно выбрать n+k способами.

Пример 1.В  ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?

Решение.Здесь  предполагается, что цветной шар - это синий или красный, поэтому  надо применять правило суммы. Цветной  шар можно выбрать 7 + 2 = 9 способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В независимо от него - k способами, то пару объектов "А и В" можно выбрать n·k способами.

Пример 2.Сколько  может быть различных комбинаций выпавших граней при бросании двух игральных костей? (Игральная кость - это кубик, на гранях которого нанесены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

Решение. На первой кости может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, то есть всего будет 6 вариантов. Точно так же и на второй кости 6 вариантов. По получится всего 6 · 6 = 36 способов. Правила суммы и произведения справедливы не только для двух, но и для любого числа объектов. Приведем еще несколько примеров, в которых необходимо выбрать правило суммы или произведения. 

Набор элементов  xi₁, xi₂, …, xi_n из множества X={x₁,…,x_n} называется выборкой объема r из n-элементов <n, r>-выборка. 

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

P_n = n!, 

где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Заметим, что  удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A^m_n = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1). 

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С ^m_n = n! / (m! (n - m)!). 

3. Сумма и произведение событий. Теоремы сложения вероятностей для двух несовместных событий и двух совместных событий. Вер-т появления хотя бы одного события. Теоремы умножения вероятностей для двух независимых и зависимых событий.

Сумма событий

Определение 2.8. Суммой событий А₁, А₂, ..., А_n называется событие А = А₁+А₂+ ...+ А_n,состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, ..., А_n.  
Например, два стрелка стреляют в одну и ту же мишень по одному разу. Обозначим события:  
А₁: "1-й стрелок попал в мишень",  
А₂: "2-й стрелок попал в мишень".  
Тогда их суммой будет событие А: "Мишень поражена", то есть, либо попал только 1-й стрелок, либо только 2-й, либо попали оба.  
Если события А₁, А₂, ..., А_n несовместимы, то одновременно они наступить не могут и определение будет следующим.  
Определение 2.9. Суммой несовместимых событий А₁, А₂, ..., А_n называется событие А, состоящее в наступлении только одного из событий А₁, А₂, ..., А_n.  
Рассмотрим для простоты два несовместимых события А и В. Пусть m -число благоприятных исходов для события А, k-число благоприятных исходов для события В, n -общее число исходов. Вероятности событий А и В будут   Число исходов, благоприятных для события С = А+В равно m+k, так как они несовместимы и

Вероятность суммы несовместимых  событий равна  сумме их вероятностей.

   (2.3)

Формула (2.3) допускает  обобщение на любое число попарно несовместимых событий.  
Пример 45. Брошены две игральных кости. Какова вероятность, что сумма очков на выпавших гранях будет не меньше 10?  
Решение. В данном испытании фраза "не меньше 10" означает, что выпадет 10, или 11, или 12 очков. Все три эти события несовместимы, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Из 36 исходов 3 будут благоприятствовать выпадению 10 очков. Это: (4,6); (5,5) и (6,4). 11 очков могут выпадать двумя способами: (5,6) и (6,5), а 12 очков - только одним способом. Итак, если обозначить  
А: "Выпадение в сумме 10 очков", P(A)= 3/36,  
В: " -- // -- // -- // -- 11 - //- ",P(B)= 2/36,  
С: " -- // -- // -- // -- 12 - //- ",P(C)= 1/36.  
D: "Выпадение не меньше 10 очков".

P(D)=P(A) + P(B) +P(C)= 3/36 + 2/36 +1/36 = 6/36 =1/6.

Ответ :1/6.

Произведение  событий

Определение 2.10. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.  
Определение 2.11. Произведением независимых событий А и В называется событие С = А·В, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В.  
Рассмотрим два независимых события А и В. Пусть событию А благоприятствуют m исходов из общего числа n исходов P(A)= m / n. Событию В - соответственно k и l исходов P(B)= k / l.Тогда для события С = А·В по правилу произведения благоприятных исходов будет m · k, а общее число - n ·  

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

P(AB)=P(A)·P(B)   (2.4)

Например, вероятность  выпадения двух гербов при бросании двух монет будет равна 0,5 · 0,5 = 0,25, а вероятность появления трех шестерок подряд при трех бросках  игральной кости 1/6·1/6·1/6= 1/216.

Вероятность суммы совместимых  событий

Рассмотрим два  совместимых события А и В. Пусть m - число исходов, благоприятных  для события А, k -число исходов, благоприятных для события В. И пусть среди этих m+k исходов l благоприятствуют и А, и В одновременно. Если n - общее число равновозможных событий, образующих полную группу, то   Событие А+В заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо А и В вместе. Ему благоприятствуют m+k-l исходов, следовательно,  

Вероятность суммы двух совместимых  событий равна  сумме вероятностей этих событий без  вероятности их совместного наступления.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)   (2.5)

Пример 46. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,7,вторым - 0,8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий. 
Решение. Пусть А: "Попадание из 1 орудия",  
В: "Попадание из 2 орудия",  
С: "Цель поражена". А и В - совместимые события, так как они могут произойти одновременно. По формуле (2.5)

P(C)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 · 0,8 = 0,94

Ответ: 0,94

Условные  вероятности

При совместном рассмотрении двух событий А и  В часто возникает вопрос, насколько связаны эти события друг с другом. Если наступление события В влияет на вероятность события А, то события А и В называются зависимыми.  
Определение 2.12. Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что уже произошло событие В.  
Пример 47. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров наугад друг за другом вынимают два шара. Даны события: А: "Первый шар - белый",  
В: "Второй шар -белый". Найти условные вероятности

Решение. Во-первых, заметим, что   : "Первый шар - черный",  : "Второй шар - черный". Найдем P(B/A). Событие А уже произошло, то есть первый шар вынут и он - белый. Требуется найти вероятность того, что второй шар - белый. В урне осталось 19 шаров, из них 7 белых. Поэтому P(B/A)= 7/19. Рассуждая аналогично, находим:

Вероятность произведения зависимых  событий

Пусть даны два  зависимых события А и В. И  из n равновозможных исходов событию  А благоприятствуют m,событию В-k,событию АВ-r исходов  
(r m,r ).  
P(A)=m / n;   P(B)=k / n;   P(AB)=r / n.  
Если произошло событие А, то реализовался один из m исходов, благоприятствующих А. Вероятность того, что при этом условии произошло событие В найдется, как условная вероятность  
 Отсюда P(AB)=P(A)·P(B/A). 
Это и есть правило умножения зависимых событий.  
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.