Решение задач по математической экономике

Задача №7

Решение:

При помощи приложения MS EXCEL  создаём таблицу данных:

                                                                                                                        Таблица 3

Затем через пункт меню Сервис/Поиск решения…  задаём:

1.      целевую функцию: $C$5 равной минимальному значению

2.      изменяя ячейки: $D$2:$D$4

3.      ограничения:  $D$2>=0, $D$3>=0, $D$4>=0, $B$5=$D$1, $D$5=$A$1.

После завершения выполнения получаем таблицу с ответами:

                                                                                                    Таблица 4

Т.е. чтобы получить доход 1 700 000 руб. за 1-й год, нужно приобрести активов вида А на 418 348.6 р., активов вида В на 363 302.8 р. и вида С на 218 348.6 р.

Ответ: А - 418 348.6 р.; В - 363 302.8 р.; С - 218 348.6 р.

Задача №8

Дано:                                                                                   

n1 = 5000                            q2 = 0.003                            p1 - ?

n2 = 6000                            q3 = 0.001                            p2 - ?

n3 = 9000                            x = 0.95                            p3 - ?

q1 = 0.004                           

Решение:

Мат. ожидание убытка:

                                          где   хi-убыток, pi-вероятность убытка             

Дисперсия убытка:

Общее мат. ожидание:

Общая дисперсия:

Примем за единицу денежных сумм 200 тыс. руб.. Тогда для договоров 1-й, 2-й, 3-й гр. убыток принимает значения 0; 1; 4; с вероятностями 0,9955; 0,004; 0,0005 - 1 гр., 0,9955; 0,003; 0,0005 - 2 гр., 0,9955; 0,001; 0,0005-3 гр.

Вычислим мат. ожидание и дисперсию убытка:

MS=5000*0,006+6000*0,005+9000*0,003=87

DS=5000*0,011964+6000*0,010973+9000*0,008991=206,589

Для того чтобы гарантировать вероятность банкротства =0,95, резервный фонд компании должен быть равен MS+L, где

x

- это квантиль порядка .

Значит, L=23,644.

Относительная страховая надбавка одинакова для всех:

Q=L/MS=23,664/87=0,272

Страховые взносы составят:

p1=M1*(1+Q)=0,006*(1+0,272)=0,0076*200 000=1520 р.

p2=M2*(1+Q)=0,005*(1+0,272)=0,0064*200 000=1280 р.

p3=M3*(1+Q)=0,003*(1+0,272)=0,0038*200 000=760 р.

Ответ: 1520 р.; 1280 р.; 760 р.

Задача №9

            Дано:                                                             ТАБЛИЦА 1

Решение:

1-й способ (вручную):

Запишем целевую функцию: Z(x)=3x1+4x2+3x3+1x4 – >max

Система ограничений имеет вид:

1)    2x1+4x2+0x3+8x4<=12,  (:2)                     3)   1x1+2x2+0x3+4x4<=6,

       7x1+2x2+2x3+6x4<=8,    (:2)                            3,5x1+1x2+1x3+3x4<=4,   (*2)

       5x1+8x2+4x3+3x4<=48   (:4)                           -2,25x1+1x2+0x3-2,25x4<=8

2)       1x1+2x2+0x3+4x4 <=6,                           4)        1x1+2x2+0x3+4x4<=6,

       3,5x1+1x2+1x3+3x4 <=4,                                       6x1+0x2+2x3+2x4<=2,

     1,25x1+2x2+1x3+0,75x4<=12                            -2,25x1+1x2+0x3-2,25x4<=8

5)  0,5x1+1x2+0x3+2x4<=3,                              6)     1x1 +1x2+0x3+2x4<=3,

      6x1+ 0x2+2x3+2x4<=2, (:2)                                 3x1+0x2+1x3+1x4<=1,

     -2,25x1+1x2+0x3-2,25x4<=8                              -2,75x1+0x2+0x3-4,25x4<=5

Приводим задачу к каноническому виду. Для этого в левые части ограничений вводим дополнительную переменную x5 с коэффициентом +1 для 3-го уравнения и 0 для 1-го и 2-го. В целевую функцию переменная x5 входит с коэффициентом 0. Получаем :

Z(x)=3x1+4x2+3x2+1x4+0x5->max

     0,5x1+1x2+0x3+2x4+0x5=3,

       3x1+0x2+1x3+1x4+0x5=1,

   -2,75x1+0x2+0x3-4,25x4+1x5=5 

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешённые) переменные приравниваем к нулю x1=x4=0. Получаем опорное решение

X1=(0,3,1,0,5) с единичным базисом Б1=(А2,А3,А5).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения:

Таблица 5

                                                          3                 4               3                1                 0

Значит, опорное решение Х1=(0,3,1,0,5) является оптимальным, т.к. для всех векторов, не входящих в базис, оценки разложений по базису опорного решения положительны:

Ответ: max Z(x)=15, при Х=(0,3,1,0,5)

2-й способ (на ЭВМ):

При помощи приложения MS EXCEL  создаём таблицу данных:

                                                                                                                 Таблица 6