Решение систем линейных уравнений

   Примеры. Решить системы уравнений.

   Найдем  матрицу обратную матрице A.

    ,

   Таким образом, x = 3, y = – 1.

   Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.

3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

   Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

   

   Найдем  матрицу А^-1.

   

   Проверка:

   

4. Решите  матричное уравнение AX+B=C, где

   Из  уравнения получаем .

   

   Следовательно,  
 

   Правило Крамера 

   Рассмотрим  систему 3-х линейных уравнений с  тремя неизвестными:

   

   Определитель  третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

   

   называется  определителем системы.

   Составим  ещё три определителя следующим  образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

   

   Тогда можно доказать следующий результат. 

   Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

   

   Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

   

   Сложим  эти уравнения:

   

   Рассмотрим  каждую из скобок и правую часть  этого уравнения. По теореме о  разложении определителя по элементам 1-го столбца

    .

   Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

   

   Аналогично  можно показать, что и  .

   Наконец несложно заметить, что 

   Таким образом, получаем равенство: .

   Следовательно, .

   Аналогично  выводятся равенства  и , откуда и следует утверждение теоремы.

   Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет  единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен  нулю, то система либо имеет бесконечное  множество решений, либо не имеет  решений, т.е. несовместна.

   Примеры. Решить систему уравнений

   Итак, х=1, у=2, z=3.

2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

   Система имеет единственное решение, если Δ  ≠ 0.

    . Поэтому  .

   

1. При
2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.

 

   Метод Гаусса 

   Ранее рассмотренные методы можно применять  при решении только тех систем, в которых число уравнений  совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

   Хотя  в настоящее время данный метод  повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э. 

   Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений  с тремя неизвестными:

    .

   Первое  уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

   

   Теперь  из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

   

   Отсюда  из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

   При использовании метода Гаусса уравнения  при необходимости можно менять местами.

   Часто вместо того, чтобы писать новую  систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

   

   и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью  элементарных преобразований.

   К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

   Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

   Вернувшись  к системе уравнений, будем иметь

   

   Выпишем расширенную матрицу системы  и сведем ее к треугольному виду.

   

   Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

   Разделим  вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать  коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

   

   Вернемся  к системе уравнений.

   Из  третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим  в первое.

   

   Таким образом, система имеет бесконечное  множество решений. 
 

IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

                В результате выполнения доклада можно сделать следующие выводы:

1. Изучение научно – методической литературы по теме выполненной работы показали, что использование различных способов решения систем линейных уравнений является важным звеном изучении математики, повышает интерес, развивает внимание и сообразительность.
2. Применение различных способов решения систем линейных уравнений на разных этапах урока является эффективным средством активизации учащихся, положительно влияет на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развивает умственную деятельность.
3. Основным в решении системы линейных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения.