Разложение на множители

Разложите на множители:

1. 32х3у2 – 2х
2. ху4 – у3 +ху2 – у
3. а4 – а3b + а2b – аb2
4. 9х2 – 12х + 4 – у2
5. с2 – х2 – 2ху – у2
6. а6 – а4 + а2 - 1

 

Ответы:

1. 2х(4ху -1)(4ху +1)
2. (у3 +у)(ух -1)
3. (а3 – аb)(а – b)
4. (3х - 2 – у)(3х – 2 +у)
5. (с – х – у)(с + х + у)
6. (а2 – 1)(а4 + 1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.БОЛЕЕ  СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ. 

Пример: n3 + 3n2 + 2n= n(n2 +3n+2) = n(n2 +2n + n +2) = n((n2 +2n) + (n +2)) =

= n(n(n +2)+(n +2)) = n(n +2)(n +1) 

Для решения  этого примера мы использовали еще  один прием разложения на множители  – предварительное преобразование 

Предварительное преобразование

Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые  слагаемые или дополняется путем  прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен  не изменился, от него отнимается такое же слагаемое. 
 

Решите  уравнение: 

х2 +10х +21=0

х2 +10х +25 - 4=0

(х +5)2 – 4=0

(х +5 -2)(х +5 + 2)=0

(х +3)(х +7)=0

х +3 =0 или х +7 =0

х = -3     или х = -7

Ответ: -3; -7.

Метод выделения  полного квадрата. 
 

Сложные задания: 

1. Решите  уравнение: х2 – 15х +56 =0

 

2. Докажите  тождество:

(а2 +3а)2 +2(а2 +3а)= а(а+1)(а+2)(а+3) 

     3.Разложите на множители:

а)х2 – 3х +2

b)х2 + 4х +3 
 

Решите  уравнение:

х2 – 15х +56 =0

х2 – 7х – 8х +56 =0

(х2 – 7х)  – (8х – 56) = 0

х(х – 7) – 8(х  – 7) =0

(х – 7)(х  – 8) =0

х -7 =0 или х – 8 =0

х=7 или х=8

Ответ: 7;8 
 

Докажите  тождество:

(а2 + 3а)2 +2(а2 + 3а) = а(а + 1) (а + 2)(а + 3)

(а2 + 3а)2 +2(а2 + 3а) = (а2 + 3а)(а2 + 3а) +

2(а2 +3а) = (а2 + 3а)(а2 + 3а + 2) =

(а(а + 3))(а2 + 2а  + а + 1 +1) =

а(а + 3)((а2 + 2а + 1) +(а + 1)) =

а(а +3)((а + 1)2 +(а + 1)) =

а(а +3)(а + 1)(а + 1 + 1) =

а(а + 3)(а + 1)(а + 2) = а(а + 1)(а + 2)(а + 3) 
 

Разложите на множители

а) х2 – 3х + 2 = х2 – 2х – х + 1 + 1 =

(х2 – 2х  + 1) – (х – 1) = (х – 1)2 –  (х – 1) =

(х – 1)(х  – 1 – 1) = (х – 1)(х – 2) 

b) х2 + 4х + 3 = х2 + 4х + 4 – 1 =

(х2 + 4х + 4) –  1 =(х + 2)2 – 12 =

(х + 2 – 1)(х  + 2 + 1) = (х + 1)(х + 3) 
 
 

Разложите на множители, используя  различные способы:

• 5а3 – 125аb2

5а(а - 5b)(а + 5b)    5а(а2 - 25 b2)      5а(а - 5b)2  

• 63аb3 – 7а2b

7а2b2(9b – 1)            аb(63 b2 – 7а)       7аb(9b2 – а) 

• 3а2 + 6а  + 3

3(а +1)(а –  1)           3(а  + 1)2              (3а + 1)2 

• а2 - b2 + 6а +6b

(а + b)(а – b + 6)      ( а – b)2                (а2 -  b2) + (6а + 6b) 

• 6х2 –  12х + 6

(3х – 3)2                  6(х – 1)2              (х – 1)(х + 6) 

Заключение: 

Мы проанализировали  следующие приемы разложения многочлена на множители:

1. вынесение общего множителя за скобки; 

2. группировка; 

3. использование формул сокращенного умножения; 

               4. выделение полного квадрата. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованой литературы 

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков  Алгебра 7.

 

2. Теляковский С.А. Алгебра для 7 классов.

 

3. Смирнова  учебник для 7 класса по математике.