Доказательство:

     Покажем, что  прямая (BP) – касательная, т.е. эта прямая имеет с параболой π только одну общую точку – точку B. Опустим перпендикуляр из точки B на прямую p, и обозначим основание этого перпендикуляра H₁, тогда [OB]=[BH]. Допустим, что на прямой (BP) найдется точка B₁, которая лежит на параболе π. ΔOBB₁=ΔHBB₁ ([OB]=[BH], [BB₁] – общая сторона, ∠OBB₁=

∠ HBB₁=45^o), следовательно, [OB₁]=[B₁H]. Но отрезок [OB₁] должен равняться перпендикуляру [B₁H₁], опущенному из точки B₁ на прямую p. Тогда в прямоугольном треугольнике H₁B₁H сторона [B₁H₁]=[B₁H], но это невозможно. Поэтому B – единственная общая точка параболы и прямой (PB). Таким образом, прямая (PB) является касательной, проведенной к параболе π в точке B. Аналогично показывается, что прямая (PA) является касательной к параболе π в точке A.  

                                                                                                                      ⊠     

    Обозначим через V₁, V₂ точки пересечения прямых a и b с прямой l соответственно, где a:=(PA), b:=(PB). Найдем теперь a'=F(a), b':=F(b). Заметим, что a'⊥g, b'⊥g, это следует из того, что углы между прямыми a и l, b и l равны 45^о. Построим теперь l'=F(l). Из правила построения прямых, параллельных g, имеем, что l' //l. Докажем, что прямая l' лежит от прямой l на расстоянии, равном фокальному параметру. Для этого найдем образ вершины параболы – точки касания параболы и прямой l. Рассмотрим точку V как точку пересечения прямых v и (OV), где v//b. Тогда V'=F(V)=v'Ç(OV), где v'=F(v).

Построим прямую v':

1. G:=vÇg;
2. v_o//v, O∈v_o;
3. v_oÇl=V₁ – это следует из того, что угол между прямыми v и l равен 45^о;
4. прямая (GV₁)=v' – искомая.

    Таким образом, V'=v'Ç (OV). Докажем теперь, что расстояние от точки V' до прямой l равно фокальному параметру.

    Введем  обозначения G₁:=bÇg, P₁:=pÇb.

    Рассмотрим  прямоугольные равнобедренные треугольники GG₁P₁ и V₁VO, они равны (∠G=∠V₁=45^o, ∠P₁=∠O=45^o, [P₁G₁]=[OV]). Следовательно, [GG₁]=[V₁V].

    ΔGG₁V₁=ΔV₁VV' (∠GG₁V₁=∠V₁VV'=90^o, [GG₁]=[V₁V], ∠GV₁G₁=∠V₁VV'=45^o); следовательно, [V₁G₁]=[V'V].

    Но  длина отрезка [V₁G₁] равна фокальному параметру. Таким образом, прямая l' лежит от прямой l на расстоянии, равном фокальному параметру.

    Обозначим через U часть плоскости, ограниченную прямыми a, b, l и содержащую данную параболу. Рассмотрим произвольную прямую d, проходящую через точку P и не параллельную прямой l. Обозначим D₁:=dÇg. Найдем образ точки D₁. Так как D₁∈g, то F(D₁)= D₁.

      Найдем  теперь образ точки P: F(P)=F(aÇb)=

    F(a)ÇF(b)=a'Çb'. Следовательно, образ прямой d – прямая d', проходящая через точку D₁ и параллельная прямой a'.

    Рассмотрим  луч λ_d=UÇd и найдем его образ. Пусть L=dÇl, а D_∞ - несобственная точка прямой d, тогда луч λ_d можно рассматривать как проективный отрезок с концами в точках L и D_∞, содержащийся в области U. Чтобы построить образ этого отрезка, построим сначала образы его концов. F(D_∞)=lÇd'=D'. F(L)=F(lÇd)=l'Çd'=L'. По Лемме 2 образом проективного отрезка является проективный отрезок. Нетрудно видеть, что образом луча λ_d - проективного отрезка [LD_∞] - является евклидов отрезок [L'D'] (так как точка D₁ не принадлежит проективному отрезку [LD_∞], то ее образ – точка D₁ – не принадлежит образу этого проективного отрезка, т.е. D₁ не принадлежит евклидову отрезку [L'D']).

    Так как d – произвольная прямая, проходящая через точку P, то образом области U является часть плоскости U', ограниченная прямыми a', b', l', l. Т.е. образ параболы будет располагаться в области U'. Заметим, что U' - это квадрат, так как a'⊥l, b'⊥l и расстояние от прямой l до прямой l' равно фокальному расстоянию, а значит и расстоянию между прямыми a' и  b'. Таким образом, образ параболы содержится в квадрате U' и потому в силу Теоремы 2 он является эллипсом.

    Заметим, что прямая (AB) – ось симметрии этого эллипса, так как точка касания V эллипса и прямой l симметрична точке касания V' эллипса и прямой l', и касательная l симметрична касательной l' относительно прямой (AB). Значит отрезок прямой (AB), заключенный между прямыми a' и b' – ось эллипса. Следовательно, отрезок [VV'] – вторая ось эллипса, так как (VV')⊥(AB) и O – середина отрезка [VV'].

    Но  отрезок [VV'] равен отрезку прямой (AB), заключенному между прямыми a' и b', т.е. оси эллипса равны, значит эллипс является окружностью. 

    Построение.

     Выполним построение точек пересечения данной прямой m и данной параболы π, выбрав прямые l, g и точку O так , как было сказано раньше.

1. окружность ω(O,f), где f – фокальный параметр
2. m'=F(m)- смотри Алгоритм 1
3. x', y':= ωÇm'
4. X:=(OX') Çm, Y:=(OY') Çm

    X, Y – искомые точки. 
 

4. Эллипс

    Пусть дан эллипс ε, заданный двумя сопряженными диаметрами [AB], [CD], пусть O – центр эллипса, и пусть дана прямая m. Требуется построить точки пересечения прямой m и эллипса ε.

    По  Лемме2 образом эллипса при аффинном отображении является эллипс. Найдем такое аффинное отображение, которое переводит эллипс в окружность. Таким отображением является, например, косое сжатие.

    Построение.

1. окружность ω(O, /OA/)
2. K:=mÇ(AB)
3. (C’D’)⊥(AB), O∈(C’D’)
4. a:=(DD') – прямая, задающая направление косого сжатия

(AB) – ось косого сжатия

5. на прямой m возьмем любую точку M
6. E:=(MD)Ç(AB)
7. b//a, M∈b
8. M':=bÇ(D'E)
9. m':=(M'K)
10. X', Y':=m'Ç ω
11. x//a, X'∈x

    y//a, Y'∈y

12. X:=xÇm, Y:=yÇm

X, Y  - искомые точки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Заключение

    Использование функционального подхода позволило  решить поставленную задачу. А именно: для гиперболы, параболы и эллипса можно найти проективные преобразования, переводящие эти кривые в окружности. Однако, для эллипса рассмотрение проективного преобразования является неоправданно усложненным, так как эллипс аффинно эквивалентен окружности, и потому для эллипса эта задача решается с помощью рассмотрения аффинного преобразования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Литература:

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.
3. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1980. –128 с.