Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Апреля 2012 в 15:20, реферат
Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией
где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть
Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:
где частные производные и равны
а означает векторное произведение.
| Поверхностные интегралы первого рода | ||||||
| Рассмотрим
скалярную функцию
и поверхность S. Пусть S задана
векторной функцией
где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом: где частные производные и равны а
означает векторное произведение. Вектор
перпендикулярен поверхности в точке
.
Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде Если поверхность S задана уравнением , где z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл находится по формуле Если поверхность S состоит из нескольких частей Si, то для вычисления поверхностного интеграла можно использовать свойство аддитивности: | ||||||
| Пример 1 | ||||||
| Вычислить
поверхностный интеграл
, где S − часть плоскости
, лежащая в первом октанте (x
≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).
Запишем уравнение плоскости в виде
Найдем частные производные
Применяя формулу
поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:
Область интегрирования D представляет собой треугольник, показанный выше на рисунке 2. Вычисляем окончательно заданный интеграл:
| ||||||
| Пример 2 | ||||||
| Вычислить
интеграл
, где S представляет собой полную поверхность
конуса
.
Обозначим через S1 боковую поверхность конуса, и через S2 − его основание. Запишем данный интеграл в виде суммы двух интегралов
Найдем сначала первый интеграл I1, используя формулу
Частные производные здесь равны
Тогда
Поскольку z = 2 для основания конуса, то область интегрирования D (x,y) определяется неравенством z2 + y2 ≤ 4 (рисунок 3). Следовательно, интеграл I1 записывается в виде
Его легко вычислить в полярных координатах:
Рассмотрим теперь второй интеграл I2. Уравнение основания конуса имеет вид z = 2. Поэтому,
где равно площади основания . Тогда
Таким образом, полное значение поверхностного интеграла равно
| ||||||
| Пример 3 | ||||||
| Вычислить
интеграл
, где S − часть конуса
внутри поверхности
.
Определим сначала область интегрирования D, которая является проекцией поверхности S на плоскость Oxy. Запишем уравнение в следующем виде:
Как видно, область интегрирования D представляет собой круг с центром в точке (a, 0) (рисунок 4). Поскольку частные производные равны
то элемент площади конической поверхности имеет вид
Следовательно, по формуле
получаем
Для вычисления полученного интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область интегрирования D при этом принимает вид
Тогда интеграл равен
В последней формуле интеграл I1 равен нулю, поскольку подынтегральная функция является нечетной, а интегрирование выполняется в интервале, симметричном относительно начала координат. Отсюда следует
| ||||||
| Пример 4 | ||||||
| Найти
интеграл
, где поверхность S − часть сферы
, лежащая в первом октанте.
Данный интеграл удобно вычислять в сферических координатах. Элемент площади в сферических координатах имеет вид . Поскольку , то интеграл можно записать в следующей форме:
Область интегрирования определяется как
Следовательно, интеграл равен
| ||||||
| Пример 5 | ||||||
| Найти
интеграл
, где S − часть цилиндрической поверхности,
заданной параметрически в виде
.
Вычислим частные производные:
и их векторное произведение
Тогда, элемент площади заданной поверхности равен
Теперь можно
вычислить поверхностный
| ||||||
| Пример 6 | ||||||
| Вычислить
интеграл
. Поверхность S задана параметрически
в виде
.
Найдем частные производные и их векторное произведение:
Тогда элемент площади равен
Теперь несложно вычислить заданный поверхностный интеграл:
|
Поверхностный интеграл первого рода
| Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл первого рода по отношению к определённому интегралу. Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а F(x,y,z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS1, ΔS2, ...., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3.8). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами Si(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔSi произвольным образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi) (i = 1,...,n) и составим сумму которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S. Определение 3.3. Если существует конечный предел не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается Поверхностный интеграл обладает всеми обычными свойствами интеграла, включая теорему о среднем значении. Приведём простейшие
достаточные условия Теорема 3.4. Если поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области τ (τ - есть область, в которую проектируется поверхность S на координатную плоскость Oху), а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл существует. К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных x, y, z сводится большинство практически встречающихся случаев. Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам. Пусть выполнены все условия приведенной выше теоремы, тогда, обозначив проекцию ΔSi (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτi, по теореме о среднем значении будем иметь: где (xi, yi) Δτi, а, следовательно при данном специфическом выборе точек Mi. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем: Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.14). Приложения поверхностного
интеграла различны. Так, например: Пример 3.9. Вычислить где S - поверхность конуса при 1 ≤ z ≤ 2 (рис. 3.9). Решение Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо τ: 1 ≤ х2 + у2 ≤ 4. В области τ функция и её производные Следовательно, Пример 3.10. Найти массу поверхности полусферы если в каждой её точке поверхностная плотность вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz. Решение Имеем и, следовательно, Внутренний интеграл находится так: |
Поверхностные
интегралы второго
рода
Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором
Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы
равен 2.
Обозначим через
единичный нормальный вектор к поверхности
S в точке (x,y,z). Если поверхность
S гладкая и векторная функция
непрерывна, то в каждой точке поверхности
существуют два противоположно направленных
единичных нормальных вектора:
Выбор одного из
них называется ориентацией
поверхности.
Если S является границей ограниченной
области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность
S, ориентированную внешней нормалью,
называют ее внешней
стороной, а
ориентированную внутренней нормалью,
− ее внутренней
стороной.
Поверхностный
интеграл второго рода
от векторного поля
по ориентированной поверхности S
(или поток векторного поля
через поверхность S) может быть записан
в одной из следующих форм:
Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:
Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм:
Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля . Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Тогда скалярное произведение равно
Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде
Поскольку (рисунок 1), и, аналогично, , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:
Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора , то последняя формула принимает вид
где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D(u,v).
| Рис.1 |
Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.
Пример 1
Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .
Решение.
Применим формулу
Поскольку
то поверхностный интеграл можно записать в виде
В результате простых вычислений находим ответ:
Пример 2
Найти интеграл от векторного поля по поверхности S, заданной в параметрической форме вектором .
Решение.
Сначала найдем частные производные.
Отсюда следует, что
Следовательно,
векторный элемент площади
Так как , то векторное поле можно представить в виде:
Тогда исходный поверхностный интеграл равен
Пример 3
Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.
Решение.
Поверхность конуса можно описать вектором :
Область интегрирования
D(x,y) представляет собой круг
.
Найдем векторный элемент площади
, перпендикулярный поверхности и направленный
во внешнюю сторону. Определим частные
производные:
Тогда
и векторный элемент равен
Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде
Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен
Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.
Пример 4
Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .
Решение.
Запишем уравнение единичной сферы в сферических координатах:
где . В результате вектор на заданной поверхности можно записать в виде