Поверхности второго порядка

§3. Метод сечений. Изображение  поверхностей второго порядка¹.

Задачи.

1. Написать каноническое уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, он проходит через точку и пересекает плоскость по эллипсу . Изобразить этот эллипсоид.

Решение. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид . Найдем его сечение плоскостью . В этой плоскости есть "плоская" система координат . Точка в и та же точка в . Если М принадлежит эллипсоиду, то ее "пространственные" координаты удовлетворяют уравнению эллипсоида, то есть верно равенство или . На это равенство можно посмотреть как на соотношение координат в , то есть мы получили уравнение линии пересечения эллипсоида и плоскости в системе координат . Сравним полученное равенство с данным в условии задачи. Получим . Тогда каноническое уравнение эллипсоида принимает вид: . Нам осталось найти только значение . Для этого используем то, что точка принадлежит эллипсоиду, то есть ее координаты удовлетворяют его уравнению: . Итак, каноническое уравнение эллипсоида . 

2. Исследовать методом сечений и изобразить поверхности второго порядка: 
   1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Решение. Рассмотрим поверхность  , и будем исследовать ее методом сечений, то есть пересекать эту поверхность координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными.

Рассмотрим плоскость  . Тогда уравнение линии пересечения поверхности с этой плоскостью в "плоской" системе координат имеет вид (см. задачу 1). Это уравнение задает гиперболу с вещественной осью . Рисуем ее на картинке.

Рассмотрим плоскость  . Тогда уравнение линии пересечения поверхности с этой плоскостью в "плоской" системе координат имеет вид (см. задачу 1). Это уравнение задает эллипс. Рисуем его на картинке. Будем пересекать поверхность плоскостями , параллельными плоскости , то есть плоскостями вида , где - произвольное фиксированное вещественное число. В этих плоскостях в "плоских" системах координат , где , будем получать уравнения . В правой части этого уравнения при любом получаем положительное число. Разделив  на это число обе части уравнения, получим . Эти уравнения задают эллипсы. При этом, чем больше , тем больше полуоси эллипса. Продолжаем рисовать картинку.

Наконец, рассмотрим сечение поверхности  координатной плоскостью . Сечение будет задано уравнением     в системе координат . Это уравнение задает гиперболу с вещественной осью . Рисуем картинку. В результате мы получили изображение однополостного гиперболоида. Его осью является ось .

Остальные поверхности исследуются  аналогично.

Ответ: 2) двуполостный гиперболоид  с осью ; 3) невырожденный конус с осью ; 4) эллиптический гиперболоид с осью ; 5) гиперболический параболоид; 6) параболический цилиндр с образующими, параллельными оси . 

3. Построить изображение геометрического тела, ограниченного плоскостями и поверхностями .

Указания. Данные поверхности являются параболическими цилиндрами с образующими, параллельными оси , ветви парабол вытянуты вдоль положительного направления оси и один цилиндр находится внутри другого, касаясь его по оси (исследуйте методом сечений и нарисуйте картинку). Снизу геометрическое тело ограничено плоскостью , а сверху – плоскостью . 

Задачи для проверочной работы.

1. Записать каноническое уравнение гиперболического параболоида, проходящего через точки (1,1,6) и , и изобразить его.
2. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который пересекает плоскость по эллипсу , а плоскость по эллипсу . Изобразить эллипсоид.
3. Написать уравнение однополостного гиперболоида, оси которого совпадают с осями координат и который пересекает плоскость по эллипсу , а плоскость - по гиперболе . Изобразить его.
4. Исследовать методом сечений и изобразить поверхности второго порядка 
   1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
5. Исследовать методом сечений и изобразить поверхности второго порядка 
   1) ; 2) ; 3) .
6. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостями , и поверхностью .
7. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостями координат, плоскостью и поверхностью .
8. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостями , , плоскостями координат  и  поверхностью .
9. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостью  , плоскостями координат  и  поверхностью .
10. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостями координат, плоскостью и поверхностью .
11. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостями , и поверхностью .

¹ Во всех задачах параграфа задана прямоугольная декартова система координат .