Поняття діофантового рівняння

Теорема Лежандра

Розглянемо  невизначене рівняння  (11). Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:

Теорема 8.

Якщо 𝑎, 𝑏 і 𝑐 – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння

Має нетривіальні розв’язки в цілих  числах 𝑥, 𝑦 і 𝑧, тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції

 (12)

Доведення.

Необхідність  умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.

Нехай 𝑝 – довільний непарний простий дільник числа 𝑐. Тоді із (12) випливає, що конгруенція  має нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма  розкладається по модулю 𝑝 на лінійні множники:

 .

Такий же розклад  правильний для форми  , тобто має місце рівність

 , (13)

де   - цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎 і 𝑏, а також 𝑝 = 2, так, як

.

Знайдемо тепер  такі лінійні форми  , щоб виконувались рівності

 

Для всіх простих  дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎, 𝑏 і 𝑐. Тоді із рівності (13) отримаємо

 , (14)

Будемо надавати змінним   цілі значення, які задовольняють умови

 (15).      Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок  (для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа 𝑎, 𝑏 і 𝑐 є взаємно простими, випливає що не всі числа , ,  будуть цілими. Значить, число наборів (𝑥, 𝑦, 𝑧), що задовольняють умови (15), строго більше, ніж   . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма  при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (𝑥, 𝑦, 𝑧) з умовою (15) більше числа лишків по модулю 𝑎𝑏𝑐, то для двох різних наборів ( , , ) і ( , , ) маємо

𝑙( , , ) .

Звідси, в силу лінійності форми  ,отримаємо, що при , ,    виконується конгруенція 

𝑙( , , ) .    Відповідно до (14),

 (16)

Оскільки для  наборів ( , , ) і ( , , ) виконується (15), то

 ,

Значить,

Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли

 або коли    

Перший випадок  дає нетривіальний розв'язок, ( , , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв’язку рівняння (11) випливає із тотожності

Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).

 

§2.Практична частина.

Можна запропонувати на уроці:

Всі знають, що х2+ху+у2 неповний квадрат, але цікаво, що при х=5 і у=3 цей вираз дорівнює повному квадрату. Цікаво, які ще значення можуть приймати х та у аби результатом було число у квадраті. Тож, розв’яжемо:

х²+ху+у²=(?)². Розділимо його на у² :

, де  також число у квадраті.

Позначивши  через z, маємо z ² + z + 1= числу у квадраті.  Нехай це квадратне число буде (t - z)², де t будь-яке ціле число, так як нам важливо лиш те, аби права частина була квадратом.

z ² + z + 1 = (t - z)^{2 =} t² - 2tz + z ², звідки (1+2t)z = t² – 1, . 

Будемо надавати t різні значення.

t = 2,   z = 3/5,  х/у  = 3/5, х = 3,  у = 5

t = 3,   z = 8/7,  х/у  = 8/7, х = 8,  у = 7

t = 4,   z = 15/9 = 5/3,     х/у  = 5/3, х = 5,  у = 3

t = 5,   z = 24/11,                               х = 24, у = 11 тощо.

Отримаємо нескінченну кількість рівнянь, в яких  х²+ху+у² дорівнює квадратному числу.[2, c.46]

Приклад1. Розв’язати лінійне діофантове рівняння:

3𝑥-5у = 19

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне  число розв’язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними 𝑥 та 𝑦.  Знаючи, що 𝑥 та 𝑦 є цілими і додатними розв’яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:  ,

Звідки       . 

Оскільки 𝑥, 6 і 𝑦 – цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що  є цілим числом. Позначимо його буквою 𝑡. Тоді

,   де        ,   і значить,       Із останнього рівняння визначаємо 𝑦:     . 

Оскільки 𝑦 та 𝑡 – цілі числа, то і  повинно бути деяким цілим числом .

Тоді, ,   причому         звідки      +1.

Значення  +1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для 𝑥 та 𝑦 ми знайшли представлення: ,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний  розв'язок рівняння , має вигляд , , де  - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому  ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення 𝑥 та 𝑦 в початкове рівняння.

Оскільки  , то і  ,  

З цих нерівностей  знаходимо:

Цим самим величина  обмежується; вона більша за  (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для 𝑥 та 𝑦 будуть такими:

,

Формули для   визначають розв’язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Приклад 2.    Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

• Їх додали;
• Відняли від більшого менше;
• Перемножили;
• Поділили більше на менше.

Отримані  результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розв'язання.    Якщо більше число 𝑥, а менше число 𝑦, то

Якщо рівняння помножити на 𝑦, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але  Тому 

Щоб х було цілим числом, знаменник  повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що у не може мати спільні множники із (у+1). Знаючи, що 243= , можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1,  або , звідки знаходимо у (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді х дорівнює 

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Приклад 3.   Розв’язати в цілих числах рівняння  .

Розв'язання.

Розкладемо  дане рівняння на множники таким чином:

  оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа  та  також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Отже, для знаходження  всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел  рівний трьом.

Відповідь: (0, 0), (1, ), ( ), ( ).

 

 

Приклад 4.  Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язання. Перепишемо наше рівняння вигляді:

Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно х:

Оскільки  , маємо нерівність  

Дискримінант  набуватиме від’ємних значень при  , тому у належить проміжку . Враховуючи те, що у є числом цілим, то він може набувати таких значень:   .

3наючи у, легко можемо знайти х:   при у=0,  ,  .

при у=1, ,    0.     х=0, х=2.

при у=2,          х=1, х=2.

Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

 

 

Приклад 5.    Розв’язати в натуральних числах рівняння:

Розв'язання.    Перепишемо рівняння у такому вигляді:

     (1)

Якщо   то , а тому , тобто ; відповідно, при  має місце нерівність     (2)

Якщо  , то , а тому ; значить, при  має місце нерівність      (3)

Об’єднуючи  нерівності (2) і(3), отримуємо, що при   ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні  цілих додатних чисел даного рівняння х має дорівнювати 1 або 2, а у = 1. Підстановкою   впевнюємось,  що   лише   х = 2,       у = 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

 

 

Висновок

У даній курсовій роботі розглядались діофантові рівняння. Таких рівнянь є надзвичайно  багато, тому основною метою роботи було розглянути деякі з таких  рівнянь та показати різні методи їх розв’язання.

Для окремих  невизначених рівнянь існують відомі алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків, або алгоритми, що показують їх відсутність. Саме на такі рівняння акцентувалась увага у курсовій роботі.

При написанні  курсової роботи я дізналась про  різні методи знаходження розв’язків невизначених рівнянь. Розглянула цікаві діофантові рівняння для яких існують розв’язки в цілих числах, навчилась знаходити ці розв’язки, або показувати, що їх не існує.

За допомогою  діофантовихрівнянь розв’язується багато  задач з алгебри, фізики, хімії, і це питання потребує уваги в діючих підручниках математики.

Задачі та приклади можуть бути використані в курсі алгебри середньої школи з метою розширення математичного кругозору учнів. Діофантові рівняння часто зустрічаються в олімпіадних задачах, тому діофантові рівняння актуальні і досі.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає змогу набагато простіше і швидше доводити існування  чи не існування розв'язку деяких задач, а також при наявності розв’язків визначати їх кількість.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної літератури:

1. Башмакова І.Г.\ Діофант і діофантові ріняння. І.Г. Башмакова – М.,1972., 68с.
2. Депман І. Я.\Розповіді про стару і нову алгебру. І.Я.Депман – «Детская литература».Ленинград - 144с.
3. Перельман Я.І.\Цікава алгебра. Я.І.Перельман – «Техніка».Київ. – 188с.
4. За ред. І.Г.Башмакової, І.Н.Веселевського\\Діофант.Арифметика. – «Наука», 1974. ,С37-61.
5. Гельфонд А.О.\ Решение уравнений в целых числах. Популярне лекции по математике. Вып.8. – М.: Наука, 1978.
6. Ленінградські математичні гуртки: посібник для позакласної роботи/ ГенкінС.А., Ітенберг І.В.,Фомін Д.В. Частина 1,2.
7. Математична енциклопедія: Гл.ред. І.М.Віноградов, Т.2 – М.:Радянська енциклопедія, 1979.
8. Виленкин Н. Я.  За страницами учебника математики 10 – 11 класс. – Москва: Издательство «Просвещение»,  1996 – с.319.
9. http://ru.wikipedia.org/ wiki/Диофантово_уравнение
10. http://sxz.mylivepage.com/wiki/1049/669_ЛІНІЙНІ_ДІОФАНТОВІ_РІВНЯННЯ_З_ДВОМА_НЕВІДОМИМИ

 

Удачи Вам в защите))