Поняття діофантового рівняння

Нехай 𝑥 – парне. На основі виведених вище формул (5) маємо

Причому 𝑢 і 𝑣 – взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо 𝑢 було парним, 𝑣 – непарним, то  мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4𝑚+1. Тому , і так як і 𝑢 та 𝑞 взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що ,де 𝑠 і 𝑟 взаємно прості, причому 𝑟 непарне.

Рівність  , перепишемо тепер у вигляді ,де  та 𝑦 взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що  а це в поєднанні з іншою рівністю дає .

Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим 𝑧, що суперечить припущенню про мінімальність 𝑧.

Піфагорові  трійки.

Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із загальновідомою  теоремою Піфагора – прямокутний, оскільки .  Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, які задовольняють відношення:

.

Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому 𝑎 і 𝑏 називають катетерами, 𝑐 – гіпотенузою.

Зрозуміло, що якщо 𝑎, 𝑏, 𝑐 є трійкою піфагорових чисел, то і 𝑝𝑎, 𝑝𝑏, 𝑝𝑐, де 𝑝 – цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.

Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно  простих піфагорових чисел (решта  отримається із їх множення на цілий  множник 𝑝). Покажемо, що в кожній із таких трійок 𝑎, 𝑏, 𝑐 один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.

Міркування  проводитимемо від супротивного. Якщо два катета 𝑎 та 𝑏 парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза 𝑐. Це, суперечить тому, що числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2𝑥+1 та 2𝑦+1,  то  сума  їх  квадратів  рівна тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.

Отже із катетів 𝑎, 𝑏 один парний, а інший непарний. Тому число  непарне, а значить непарна і гіпотенуза 𝑐.

Припустимо, для  визначеності, що непарним є катет 𝑎, а парним 𝑏. Із рівності . Ми легко отримаємо: .

Множники  , правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума 

І різниця      і добуток  

Тобто числа 2𝑐, 2𝑏, і 𝑎 мали б спільний множник. Так як 𝑎 непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, чого бути не може.   Отримана суперечність показує, що числа  взаємно прості.     Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд

Де 𝑚 та 𝑛 – деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких 𝑚, 𝑛 ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях 𝑚 та 𝑛:

    Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.

Невизначене рівняння Ферма

Розглянемо  тепер рівняння вигляду   (6).

Рівняння (6) називають невизначеним рівнянням Ферма, яке має велике значення у всій теорії діофантових рівнянь. Ми доведемо, що при кожному натуральному значенні 𝐷, відмінному від повного квадрата, це рівняння має нескінченно багато розв’язків в цілих числах, і знайдемо загальний метод знаходження всіх його розв’язків.

Теорема 6. Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число і  ( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), тоді  є чисельником і знаменником відповідно одного із підхідних дробів до .

Доведення. Із  випливає, що  і

,

Тобто  – однин із підхідних дробів до . Оскільки  , що задовольняють рівняння (6) є взаємно простими числами, то із рівності випливає: = .

Розклад  в ланцюговий дріб в загальному виглядає так:

 (7)

Виявляється, що розв’язками рівняння (6) можуть бути чисельники і знаменники тільки тих  підхідних дробів  до  у яких індекс 𝑠 має вид .

Теорема 7.

Якщо ( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), то , де  - підхідний дріб до .

Доведення. В попередній теоремі було доведено, що якщо пара цілих додатних чисел є розв’язком рівняння (6), то = , де  - підхідний дріб до . Число  є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами

. (8)

Повний частковий   розклад  в ланцюговий дріб є коренем деякого квадратного рівняння

 з тим же дискримінантом, як у рівнянні (8) (при  ) маємо:

;

 - парне число, яке позначимо - 2 . Розв’язуючи квадратне рівняння для  ,отримаємо  , тобто розклад  в ланцюговий дріб повинен мати той же період, як і в розкладі (7) числа і відрізняється від нього тільки на перший член розладу. Це може бути тільки при , ,   . Тепер залишається тільки зрозуміти, які саме з чисел  є розв’язками рівняння (6).

Теорема.  Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число, 𝑘 – довжина періоду розкладу  в ланцюговий дріб. Ми отримаємо всі розв’язки рівняння (6) в цілих додатних числах 𝑥 та 𝑦, якщо візьмемо:

де 𝑛 – довільне натуральне число, таке, що 𝑘𝑛 парне.

Невизначені рівняння третього порядку.

У книзі IV Діофант  розглядає невизначені рівняння третього і четвертого порядків. Тут  справа йде набагато складніше: якщо крива третього порядку і має раціональні точки, то координати їх, взагалі кажучи, не можуть бути виражені раціональними функціями одного параметра. Однак, знаючи одну або дві раціональні точки кубічної кривої, можна знайти ще одну її раціональну точку. Дійсно, будь-яка пряма перетинає криву третього порядку в трьох точках, координати яких можна знайти наприклад, з рівняння третього ступеня, що отримаємо виключенням з рівнянь кривої Γ: 
                                                   f₃ (х, у) = 0                                                      (10) 
і прямій. Якщо два корені цього кінцевого рівняння раціональні, то і третій буде раціональним (це можна побачити хоча б з того, що сума коренів кубічного рівняння дорівнює коефіцієнту при x², взятому з оберненим знаком, поділений на коефіцієнт при x³, якщо коефіцієнти рівняння раціональні і два кореня раціональні, то й третій корінь, очевидно, раціональний). На цьому зауваженні засновані наступні дві процедури: 
         1) якщо P - раціональна точка кривої Γ, то в точці P проводиться до кривої Γ дотична з раціональним кутовим коефіцієнтом k. Вона буде мати ще одну точку перетину з Γ, яка також буде раціональною. (Дійсно, вирішуючи спільно рівняння дотичної і кривої, одержимо результуюче кубічне рівняння, яке має подвійний раціональний корінь, значить, і третій його корінь буде раціональним.) 
         2) Якщо P₁ і P₂ - раціональні точки кривої Γ, то проводиться пряма P₁ P₂ і шукається третя її точка перетину з Γ. За попереднім, координати цієї точки раціональні. 
        Далі будемо називати ці способи методами дотичній і січної Діофанта. Покажемо, що ми маємо право приписати ці обидва методи Діофанта.

Для цього розглянемо його завдання. Завдання 24 книги IV: 

«Дане число  розбити на два числа так, щоб  їх добуток був рівний  кубу без сторони. Нехай дано 6. Я вважаю 1-е число х, тоді 2-е буде 6 - х. Залишається зробити, щоб одне на інше було кубом без сторони, але воно буде 6x – x²; це і повинно дорівнювати кубу без сторони. Я утворю куб з х з якимось коефіцієнтом -1; нехай 2x - 1, його куб мінус сторона буде       8x³ + 4x - 12x².

Це дорівнює 6x – x².  
Якщо коефіцієнти при х в обох частинах були б рівні, то залишилися б рівні члени з x³ та x²;  тоді х було б раціональним. Але 4x виходить як надлишок   3 • 2x над 2x, і 3 • 2x - 2x дає 2 • 2x, однак, за припущенням, має бути 6. Отже, справа зводиться до відшукання такого числа, щоб коефіцієнт при х, помножений на 2, давав би 6. Це буде 3.  
Так як я хочу, щоб 6x – x² дорівнювало кубу мінус сторона, то вважаю сторону куба 3x - 1; цей куб мінус його сторона буде         27x³ + 6x - 27x² = 6 – x²   і   х = 26/27. За формулами: 1-е = 26/27, 2-е = 136/27 ».

Постараємося  тепер виділити метод Діофанта в  чистому вигляді. Нехай задано число. Позначимо одне з шуканих чисел х, інше а - х. За умовою, х (а - х) = y3 - у.                         (11)               
Одним з раціональних рішень буде (0, -1). Слідуючи Діофанта, проведемо через цю точку пряму    у = кх - 1                                                                    (*) 
(Діофант бере спочатку до k  = 2) і знайдемо її точки перетину з кривою (11):                                               ах - x2 = k3x3 - 3k2x2 + 2kx. Для того щоб х вийшло раціональним, досить покласти 2k = a, т.е.     k = a/2,                                                            (**) 
що і робить Діофант. Після цього знайдемо    .

Подивимося, що означає умова (**) для прямої (*). Для того щоб це з'ясувати, застосуємо метод Діофанта до довільного рівняння третього порядку від двох змінних (10), яке має раціональний розв’язок (a, b):

f3 (a, b) = 0. Проведемо через точку P (a, b) пряму  y – b = k(x – a)

((12)

 

x = a + t,    y = b + kt.

 Або

Тоді  f₃(a + t, b + kt) =

= f₃(a, b) + tA(a, b) + ktB(a, b) + t²C(a, b, k) + t³D(a, b, k) = 0.

Але  f3(a, b) = 0 і, якщо допустимо A(a, b) + kB(a, b) = 0,
то отримаємо

тобто кутовий коефіцієнт нашої прямої (12) повинен бути вибраний так, щоб вона була дотичною до кривої (10) в точці P (a, b). Таким чином, тут Діофант користується методом дотичній.  
         Цим же способом Діофант вирішує задачу 18 книги VI, а також, ймовірно, і завдання        x³ + y³ = a³ – b³, розглянуту, за свідченням самого Діофанта, в його книзі «Порізми», яка до нас не дійшла.

Зауважимо, що попутно Діофант отримує чисто алгебраїчний спосіб визначення кутового коефіцієнта k дотичної, рівного похідної  або

.   Цей спосіб, який не вимагає граничного переходу, тобто може бути здійснений чисто алгебраїчно (над полем без топології), відіграв велику роль в історичному процесі формування похідної, особливо у Ферма і Декарта, а в даний час широко застосовується в алгебраїчної геометрії. 
Перейдемо тепер до задачі 26 книги IV, де застосовується метод січної. 
«Знайти два числа, добуток яких разом з кожним з них буде кубом. 
Покладемо перше х з якимось коефіцієнтом, рівним кубу, нехай 8, інші x² - 1. Одна умова задоволена, бо додаток до добутка першого дає куб. 
  Залишається зробити так, щоб при додаванні до того ж другого теж виходив куб. Але додаток іншого дає   8x³ + x² - 8x - 1 = кубу.   Утворюємо куб з 2х - 1, що дає х = 14/13. Далі, за формулами: перше 112/13, друге 27/169 ».  
         Позначимо, слідуючи Діофанта, перше невідоме через a³ x , друге через x² - 1. Тоді перша умова задачі виконано, а друге дає:                                                                a³ x³ + x² - a³ x - 1 = y³.                                                        (15) 
Діофант робить підстановку у = ах - 1 і отримує      .

Зупинимося  дещо докладніше на застосованому тут  методі. Одним з раціональних рішень рівняння (15) буде (0, -1). Проведемо через  цю точку пряму у = kx - 1 і знайдемо її точки перетину з (15):                                                (a³ – k³) x³ + (1 + 3k²) x² - (a³ + 3k) х = 0.  
Діофант прирівнює нулю не коефіцієнт при х, як це мало місце в попередньому випадку, а коефіцієнт при x³ і отримує                                                                    a³ – k³ = 0. Що означає таке прирівнювання з геометричної точки зору? Для з'ясування цього питання запишемо рівняння (15) в однорідних координатах, поклавши x = u/z, y = v/z:  a³u³ + u²z – a³uz² – z³ = v³.               (15)                                           
Ми бачимо, що ця крива має дві раціональні точки P₁ (0, -1, 1) і Р₂ (1, a, 0); з'єднує їх пряма є     v = au – z.  
Вона і дає в перетині з (15 ') третю раціональну точку. Таким чином, тут Діофант застосовує метод січної для випадку, коли одна із заданих раціональних точок є кінцевою, а інша - нескінченно віддалена, або невласна. 
Діофант застосовує свої методи дотичній і січної і в інших завданнях книг IV, V і VI.[1,c. 29-33]