Если  матрица не является нормальной, как, например, любая действительная несимметричная матрица, то в общем случае нельзя отыскать ортонормированный набор  собственных векторов, нельзя даже гарантировать ортогональности любой пары из них (кроме редких случаев). В общем случае эти N собственных векторов будут образовывать неортогональный базис в N-мерном пространстве (но не всегда). Если собственные вектора не образуют N-мерный базис, то матрицу будем называть дефектной.  
 

10.   Обратная матрица

 

   Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

     Квадратная  матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где det обозначает определитель.
• (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B.
• (A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T где * ^T обозначает транспонированную матрицу.
• (kA) ^{− 1} = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента .

   Если  необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{- 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

11. Понятие и свойства  определителей

     СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

     СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна  умножению его на -1. Например,

.

     СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

     СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

     СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца  или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

     СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен  нулю.

     СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

     СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

     Дальнейшие  свойства определителей связаны  с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием  строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

     Алгебраическое  дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма  номеров строки и столбца, на пересечении  которых расположен элемент, есть число  четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

     Алгебраическое  дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

     СВОЙСТВО 9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие  равенства:

, ,

, ,

, . 
 
 
 
 

12. Ранг матрицы 

     Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

     Ранг  матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

     Обычно  ранг матрицы A обозначается ( ) или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

     2 метода вычисления ранга матрицы: 1) метод окаймляющих миноров; 2) метод  элементарных преобразований. Суть первого метода заключается в следующем. Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется. Что касается второго метода, то воспользуемся элементарными преобразованиями 1) отбрасывание нулевой строки (столбца) и 2) транспонирование матрицы.

Пусть  — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

• ноль, если A — нулевая матрица;
• число , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

 
 

13. Минор, алгебраическое  дополнение 

     Минором элемента матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

     При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример 1. Составить минор  , полученную из исходной матрицы:

Решение:

. 

 Алгебраические  дополнения

     Алгебраическим  дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает  с минором, когда сумма номеров  строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

 
 

14. Вычисление обратной  матрицы

Рассмотрим  квадратную матрицу

    

    Квадратная  матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю.

    Квадратная  матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

    АВ= ВА=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

    Матрица, обратная к А, обозначается через А^-1, так что В= А^-1. Для матрицы А обратная ей матрица А^-1 определяется однозначно.

    Справедливы следующие равенства:

1. D(А^-1)=(DА)^-1;
2. (А^-1)^-1=А;
3. (А₁А₂)^-1=А₂^-1А₁^-1;
4. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

    Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:

    

    Предположим, что DА¹0. Построим следующую матрицу С следующим образом:

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

    Полученная  таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.

    Чтобы получить матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на DА, т.е. матрица А^-1 будет иметь следующий вид:

      

    Пусть матрица А, имеет следующий вид:

    

    Чтобы найти матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо:

• вычислить определитель матрицы (DА= -3);
• найти алгебраические дополнения элементов а_ij  в определителе матрицы А:

    

• составить присоединённую матрицу С по формуле (2);
• разделить все элементы матрицы С на DА.