Министерство образования и науки Российской Федерации

     Федеральное государственное автономное образовательное  учреждение

     высшего профессионального образования

     «ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Институт  экономики и внешнеэкономических  связей 
 
 

ПИСЬМЕННАЯ  РАБОТА

по дисциплине математика «Линейная алгебра» 
 

Студентки

гр. 2010 – ЗБУ – С Коноревой О.В.

Научный руководитель:  

к.т.н. доцент  

Косолапова  Н.А.                                                             

                                                                               
 
 

                   

                                        Ростов-на-Дону  – 2010

1. Векторное пространство

     N - мерное векторное пространство R n определяется как множество  всех n-мерных векторов, для которых  определены операции умножения на действительные числа и сложение.

  Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие  условия:

 

1. , для любых  (коммутативность сложения);
2. , для любых (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
5. (ассоциативность умножения на скаляр);
6. (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы  множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

                   

2. Основные свойства  векторов

     Как известно, существует взаимно однозначное  соответствие между вещественными  числами и точками числовой прямой. Если рассматривать точки координатной плоскости, то для их определения потребуется уже пара чисел, для точки в трехмерном пространстве – тройка и т.д. Таким образом, если рассматривать упорядоченные наборы действительных чисел, то, обозначив  упорядоченный набор из  чисел:  , можно сказать, что  это множество точке числовой прямой или множество действительных чисел.  - множество пар действительных чисел или множество точек плоскости,  - множество троек вещественных чисел или множество точек трехмерного пространства.

     В данном пространстве можно определить операции сложения элементов и умножения  их на действительное число: для любых  и любого  выполняется:  При  этом выполняются все традиционные ( простейшие) свойства этих операций:

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. для любого .
4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. для любого .
6. для любых и .
7. для любого .                                                            

3. Операции над векторами

                                                          

 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис.1).         

  

 

 Рис.1.Сложение векторов 

 Сложение  векторов в соответствии с рисунком 1 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника. Результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

  

 

 Рис.2. Правило треугольника         

 Вектор  b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .         

 Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .         

 Разностью векторов a и b называется сумма .         

 Разность  обозначается , то есть .         

 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

 1) и, если , то еще двумя условиями:

 2) вектор  b коллинеарен вектору a;

 3) векторы  b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .         

 Произведение  вектора a на число обозначается (рис 3).

  

 

 Рис.3.Умножение вектора на число 
 
 
 
 
 

3. Скалярное произведение векторов. Норма вектора

 

     Скаля́рное  произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно  используется одно из следующих обозначений:

,

,

,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

.

Обычно  предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть

для всех .

Если  этого не предполагать, то произведение называется индефинитным 

Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция , принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для  любых трех элементов  и пространства и любых чисел справедливо равенство [линейность скалярного произведения по первому аргументу];

2. для  любых  и справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];

3. для  любого  имеем , причем только при [положительная определенность скалярного произведения].

Действительное  линейное пространство со скалярным  произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

 
Заметим, что из п.2 определения следует, что  действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

     Норма — функция, заданная на векторном пространстве и обобщающая понятие длины вектора.

     Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел является функционалом , удовлетворяющим следующим условиям:

3. (неравенство треугольника);

Эти условия  являются аксиомами нормы.

     Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Чаще  всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента x векторного пространства . 
Вектор с единичной нормой ( ) называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор x можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. 

5. Линейная  зависимость и  независимость векторов

 

   Следующие теоремы дают несколько критериев  линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие  линейной зависимости системы векторов.)

     Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система   линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

,

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .

Разделим  обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

.

Обозначим: , где .

Тогда

или         ,

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно  выражается через другие вектора  этой системы:

.

Перенесем вектор  в правую часть этого равенства:

.

Так как  коэффициент при векторе   равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

           

  Следствие.

1. Система  векторов векторного пространства  является линейно независимой  тогда и только тогда, когда  ни один из векторов системы  линейно не выражается через  другие вектора этой системы.

2. Система  векторов, содержащая нулевой вектор  или два равных вектора, является  линейно зависимой.