Парадоксы в теории вероятностей

Таблица 2.4. Всевозможные исходы и их вероятности, при условии, что сначала была выбрана семья, а пол одного ребёнка известен заранее

2.5 ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Вышеописанные вопросы часто неоднозначны и не имеют "правильного" ответа, как такового. Однако парадокс второго ребёнка на этом не исчерпывается, также полезными являются возможности, которые он открывает для исследования интуитивного восприятия вероятности человеком. Исследования утверждают, что если бы люди были последовательными, то скорее всего приходили бы к ответу 1/3, но чаще встречается ответ 1/2. Неоднозначность этого второго вопроса, хотя и создает парадоксы в классической математике, является почвой для того, чтобы изучать интуитивное восприятия вероятности людьми. Фокс и Левав (Fox и Levav) в 2004 году использовали этот парадокс, чтобы изучить, как люди оценивают условную вероятность. В этом исследовании парадокс был представлен людям в двух видах: *Мистер Смит говорит: «У меня двое детей, и по крайней мере один из них мальчик» Получив эту информацию, скажите, какова вероятность того, что второй ребёнок мистера Смита тоже мальчик. *Мистер Смит говорит: «У меня двое детей, и это не 2 девочки». Получив эту информацию, скажите, какова вероятность того, что у мистера Смита 2 сына? Первая формулировка даёт читателю ошибочное впечатление, что существует две равновероятных возможности для "другого ребёнка", тогда как вторая формулировка даёт читателю впечатление, что существует четыре возможных исхода, один из которых был исключён (в результате вероятность для двух мальчиков равна 1/3, так как существует три возможных оставшихся элементарных исхода, только в одном из которых оба ребёнка мальчики). По результатам этого эксперимента выяснилось, что 2 эти формулировки запутывают людей. Так в первом случае ответ 1/2 давали 85% респондентов, в то время как во второй только 39%. Причиной, по которой люди по разному отвечают на эти 2 вопроса, является то, что люди принимают решения с помощью эвристик, предполагающих использование неформализованных методов; в отличие от решения методами, опирающимися на четкие математические модели.

Глава 3.  
ПАРАДОКС ДНЕЙ РОЖДЕНИЯ

Прекрасным примером служит парадокс с днями рождения. Выберем  
наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!

Вероятность того, что дни  рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных  дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным — то есть в феврале может быть 29 дней — и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе — увеличивает.)

Приведенные цифры настолько  неожиданны, что экспериментальная  проверка их в классе или среди  сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.

Рис. 3.1. Кривая роста вероятности совпадения дней рождений с увеличением числа людей

Еще проще проверить парадокс, выбирая случайным образом даты рождения 24-х людей из книги «Кто есть кто» или какого-нибудь другого  биографического справочника. Естественно, что чем большее число имен превышает 24, тем больше вероятность  совпадения. На рис. 1.1 изображена кривая, показывающая рост вероятности с  увеличением числа людей. График обрывается, когда число людей  достигает 60, потому что дальше вероятность  уже слишком близка к достоверности (то есть к значению 1) и кривую практически  невозможно отличить от прямой. В действительности даже для 23-х людей вероятность совпадения по крайней мере одного дня рождения превышаети равна 0,507... Обратите внимание, как круто поднимается кривая примерно до числа 40 и как она выходит на плато по мере приближения к достоверности. Взяв 100 человек, вы сможете заключить пари, выигрывая в 3 299 000 случаях из 3 300 000. Конечно, абсолютная достоверность достигается лишь тогда, когда взято 366 человек.

Глава 4.  
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС

4.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА

Парадокс получил известность  после публикации Даниилом Бернулли в заметках Академии наук Санкт-Петербурга в 1738 году, однако впервые парадокс упоминается двоюродным братом Даниила, — Николаем Бернулли в 1713 году в письме к математику Монмору. Иногда, ошибочно, парадокс приписывают Эйлеру. Суть парадокса: игроком бросается правильная монета до момента выпадения решки, игрок при выпадении получает 2^r рублей, где r — это номер бросания, при котором выпала решка, — при каждом последующем бросании потенциальный выигрыш увеличивается вдвое. Сколько необходимо выплатить игроку за участие в игре с такими условиями, чтобы его средний выигрыш перекрыл выплату за игру. Ответ парадоксален, — математическое ожидание банковских выплат бесконечное. Выигрыш может выпасть при любом из r бросаний, тогда математическое ожидание равняется: 
m_x=2^r=½*2+1/4*4+1/8*8...=1+1+1... (4.1), 
где m_x – математическое ожидание выигрыша, 
      r – число бросаний. 
Этот бесконечный ряд расходится, то есть имеет бесконечную сумму.

4.2 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА

Приведём оценки для решений  парадокса через ограничение  количества игр и времени. Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит некоторое n, равна 1/2ⁿ. Пусть игрок может сыграть не более k игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит n, равна 1-(1-1/2ⁿ)^k. Для больших n она приближённо равна k/2ⁿ. Будем считать, что событие, имеющее вероятность меньше некоторого p, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает log₂(k/p). При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

                                       
                                       (4.2)

                                    
                           (4.3),

где n – реальное количество бросков, 
      k – предельное количество игр, 
      p – вероятность того, что количество бросков не превысит n.

                   (4.4)

То есть, средний выигрыш равен   

Для 1000 игр и p=10^-6 получаем средний выигрыш около 15.

4.3 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ ПОЛЕЗНОСТИ

Другой вариант разрешения — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания. Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать ,

                                              П=              (4.5),

 где X — выигрыш, 
       П – полезность, 
       — вклад в игру.

При этом в классической постановке парадокса математическое ожидание полезности становится конечным:

                                                                 (4.6),

 

где П – полезность, 
       X — выигрыш, 
       — вклад в игру.  
Откуда легко получить справедливую стоимость игры: .

Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с  точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $ 1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ. При этом можно так изменить систему выплат, что и данное решение будет неприемлемо: для каждой неограниченной функции полезности существует такая последовательность выплат за выпадение орла на i-том шаге, что ожидаемая полезность тоже будет равна бесконечности.

 

 

 

 

 

 

Глава 5.  
ПАРАДОКС ДВУХ КОНВЕРТОВ

5.1 ФОРМУЛИРОВКА

Парадокс двух конвертов — известный парадокс, демонстрирующий как особенности субъективного восприятия теории вероятностей, так и границы её применимости. В облике двух конвертов этот парадокс предстал в конце 1980-х годов, хотя в различных формулировках известен математикам с первой половины XX века. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2 = (5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

5.2 ИСТОРИЯ

В 1953 году бельгийский математик Морис Крайчик предложил похожую задачу на примере двух галстуков: Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному свой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: «Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне». Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них? Крайчик утверждает, что симметрия в игре существует, но предполагает неправомерность использования вероятности ½ при вычислении среднего дохода. С точки зрения обеих сторон игра симметрична и каждый имеет равную вероятность выиграть. Однако вероятность не является объективно данным фактом и зависит от условий задачи. В данном случае разумным является не пытаться оценивать вероятность.

Задача стала популярна  благодаря Мартину Гарднеру, который описал её в 1982 году под названием «Чей кошелёк толще?». Гарднер соглашается с Крайчиком и в том, что игра «честная» (симметричная), и в том, что игра не может быть одновременно выгодной обеим сторонам, а также в том, что в рассуждении игроков кажутся сомнительными: Может ли одна и та же игра «быть выгоднее» для каждого из двух партнёров? Ясно, что не может. Не возникает ли парадокс из-за того, что каждый игрок ошибочно полагает, будто его шансы на выигрыш и проигрыш равны? Однако Гарднер отмечает также, что подробного математического разбора задачи Крайчиком не было сделано: к сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика.

В дальнейшем задача принимала  названия «парадокса двух шкатулок», «парадокса двух карманов», «парадокс обмена»  и т. д.

Новый интерес к парадоксу  возник после публикации Барри Нейлбуфом статьи с перечнем ряда парадоксов теории вероятностей в журнале Journal of Economic Perspectives. После получения множества откликов на эту публикацию, им была подготовлена вторая статья «Чужой конверт — всегда зеленее» («The Other Person’s Envelope is Always Greener»), посвящённая непосредственно задаче конвертов. В предложенной им формулировке имеется два конверта: В один конверт помещается некоторая сумма денег, неизвестная для других, и этот конверт отдаётся Али. Затем скрытно подбрасывается монета. Если выпадает орёл, во второй конверт кладётся сумма в два раза большая, чем в первом. В противном случае во второй конверт кладётся сумма в два раза меньшая. Этот конверт отдаётся Бабе. Али и Баба могут открыть свои конверты, не сообщая один другому суммы которые они там видят. После этого они могут (по обоюдному согласию) обменяться конвертами. Предположим, что Али видит в своём конверте 10$. Али предполагает, что в конверте у Бабы равновероятно могут находиться 5$ или 20$. В этом случае обмен конвертами приносит Али 2,5$ (или 25 %). Аналогично Баба считает, что в конверте Али равновероятно находится сумма в два раза меньшая или большая, чем x, которая находится у него. Поэтому в среднем, при обмене конвертов, он получает (-0,5 x + x)/2 = 0,25 x. Таким образом, Баба также ожидает получить в среднем 25 % дохода, по сравнению с суммой в своём конверте. Однако, это является парадоксальным. Обмен конвертами не может быть выгоден обоим участникам. Где ошибка в их рассуждениях?

Модификация Нейлбуфа условия задачи и предложенные им решения позволили многое прояснить по сути парадокса. Однако подбрасывание монетки после наполнения первого конверта заметно нарушало первоначальную симметрию капиталов игроков. При решении акцент смещался на доказательство неравноценности стартовых условий для Бабы по сравнению с Али. Поэтому в результате дальнейшей эволюции, из условия задачи исчезла монетка, с помощью которой у Нейлбуфа определялось содержимое второго конверта. На сегодняшний день наиболее широко известна и вызывает наибольший интерес у математиков идеально симметричная постановка с внешне неразличимыми конвертами, содержащими меньшую и в два раза большую суммы, причём один из конвертов можно открыть прежде, чем начать рассуждение о выгодности обмена.

 

 

 

5.3 РАЗРЕШЕНИЕ  ПАРАДОКСА

С точки зрения Нейлбуфа первое удовлетворительное объяснение его задачи дано Санди Забеллом в статье «Убытки и доходы: парадокс обмена». Несколько переформулируя, Нейлбуф пишет: