Парадоксы в теории вероятностей

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «Систем электроснабжения предприятий»

РЕФЕРАТ по курсу 

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»   

на тему

 «ПАРАДОКСЫ В ТЕОРИИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Выполнил: студент группы 
Эн2-04оженко А.Е.

Проверил: профессор кафедры              
«СЭСП» Манусов В.З.

Новосибирск, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………………….3

Глава 1. ПАРАДОКС МОНТИ  ХОЛЛА…………………………………………………………...4

1.1 ФОРМУЛИРОВКА………………………………………………………………….......4

1.2 РАЗБОР…………………………………………………………………………………..5

Глава 2. ПАРАДОКС МАЛЬЧИКА И ДЕВОЧКИ………………………………………………..8

2.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА…………….8

2.2 ПЕРВЫЙ ВОПРОС……………………………………………………………………..9

2.3 ВТОРОЙ ВОПРОС……………………………………………………………………...9

2.4 АНАЛИЗ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ……………………………………………………10

2.5 ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ…………………………………………12

Глава 3. ПАРАДОКС ДНЕЙ РОЖДЕНИЯ………………………………………………………13

Глава 4. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ПАРАДОКС…………………………………………….15

4.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА…………...15

4.2 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ  РЕАЛЬНОГО МИРА………………………...15

4.3 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ  ПОЛЕЗНОСТИ……………………………………16

Глава 5. ПАРАДОКС ДВУХ КОНВЕРТОВ……………………………………………………...18

5.1 ФОРМУЛИРОВКА…………………………………………………………………….18

5.2 ИСТОРИЯ……………………………………………………………………………....18

5.3 РАЗРЕШЕНИЕ…………………………………………………………………………21

5.4 ФОРМАЛЬНАЯ АРГУМЕНТАЦИЯ…………………………………………………21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………22

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………………………23

 

 ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами — истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Парадоксы в теории вероятностей — различного рода парадоксы, возникающие в теории вероятностей из-за несовершенства аксиоматики, в частности из-за определения вероятности через вероятность, неопределённости понятия «равновероятные события» и иных пробелов в основаниях данного раздела математики. Рассмотрим  основания возникновения данных парадоксов. В теории вероятности парадоксы бывают двух типов: первый — когда существует строгое решение в рамках аксиоматики, просто оно не очевидно, и условия задачи таковы, что ведут интуитивное понимание условий в ошибочном ключе, примерами таких парадоксов являются — Санкт-Петербургский парадокс, Парадокс закона больших чисел Бернулли, Парадокс дней рождения; второй тип — парадоксы, которые основываются на неоднозначной интерпретации аксиоматики теории вероятности, её недоопределённости, которую отмечал еще Пуанкаре, их и можно назвать истинными парадоксами. Примеры истинных парадоксов: Проблема Монти -Холла, Парадокс двух конвертов, Парадокс Хемпеля, Парадокс Бертрана. Ценность обоих типов парадоксов в том, что они помогают лучше понять суть теории, область её ограничения, глубже понять основания теории, и иногда исследование парадоксов вело к созданию отдельных разделов математики. Ниже нами будут рассмотрены наиболее популярные и интересные парадоксы.

 

 

 

Глава 1.  
ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА

1.1 ФОРМУЛИРОВКА

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом: 
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? 
          После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться следующей стратегии: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу. Наиболее популярной является задача с дополнительным условием— участнику игры заранее известны следующие правила: автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей; 
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок; если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью. В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

1.2 РАЗБОР

Таблица 1.1. Возможные варианты

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге  убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления  автомобиля за двумя не открытыми  становятся равны 1/2, вне зависимости  от первоначального выбора. Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие - B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3. Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3     (1.1) 
          P(C) = 2/3*1/2 = 1/3,    (1.2), 
где     P(B) – вероятность нахождения автомобиля за дверью B, 
          P(C) – вероятность нахождения автомобиля за дверью C, 
          1 /2 - условная вероятность для данной двери при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0". 
В результате выражения принимают вид:

P(B) = 2/3*1 = 2/3        (1.3) 
          P(C) = 2/3*0 =0            (1.4), 
где     P(B) – вероятность нахождения автомобиля за дверью B, 
          P(C) – вероятность нахождения автомобиля за дверью C, 
          1 и 0 –условная вероятность для данной двери при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Таким образом, участнику следует  изменить свой первоначальный выбор - в этом случае вероятность его  выигрыша будет равна 2/3.

Рис. 1.1. Иллюстрация, поясняющая 
вероятности выигрыша в случаях, когда 
игрок меняет свой первоначальный выбор и когда он этого не делает.

Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь  после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную  дверь (тогда ведущий откроет  вторую проигрышную и вам останется  поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную  дверь можно 2 способами (вероятность 2/3), т.е. если вы меняете дверь, вы выигрываете  с вероятностью 2/3.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла, т.е. парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий  ставит перед игроком новую задачу, никак не связанную с предыдущим выбором — ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор  заново — и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает  две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий  откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную  игроком. Следовательно, оставшаяся дверь  имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана  ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной  игроком дверью находится коза, все  же откроет эту дверь, этим самым  он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, т.к. вероятность  правильного выбора будет уже 1/2. Но подобного рода игра будет уже  по другим правилам.

Глава 2. 
ПАРАДОКС МАЛЬЧИКА И ДЕВОЧКИ

2.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА

Парадокс Девочки и мальчика также известен в теории вероятностей, как «Парадокс второго ребенка», «Дети мистера Смита» и «Проблемы Миссис Смит». Впервые задача была сформулирована в 1959-ом году, когда Мартин Гарднер (Martin Gardner) опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem» и сформулировал её следующим образом:

• У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки?

• У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один ребёнок – мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики?

Сам Гарднер изначально давал ответ 1/2 и 1/3 соответственно, но впоследствии понял, что ситуация во втором случае не однозначна. Ответом на второй вопрос может быть и 1/2 в зависимости от того, как было выяснено, что один из детей мальчик. Неоднозначность в зависимости от конкретного условия задачи и сделанных допущений была подтверждена позднее. Психологическое восприятие данного парадокса также представляется интересным. Научное исследование, проведённое в 2004 году,  показало, что при идентичной исходно заданной информации, но различных вариациях в формулировке задачи, подталкивающей к выбору определённой точки зрения, доля студентов программ MBA, дававших ответ 1/2 на второй вопрос колеблется от 85% до 39%. Парадокс зачастую вызывает множество противоречий . Много людей являются ярыми сторонниками каждого из вариантов ответа, при этом они отрицают и иногда презирают противоположную точку зрения. Парадокс заключается в том, что при различном подходе к анализу искомая вероятность различна. Наиболее очевидный ответ на оба вопроса - 1/2. Однако, этот ответ очевиден лишь в том случае, когда из каждого из вопросов следует, что есть два равновероятных исхода для пола второго ребёнка (мальчик или девочка), и что вероятности этих исходов безусловны.

2.2 ПЕРВЫЙ ВОПРОС

У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки? Выберем случайную семью, соответствующую условиям первого вопроса. Тогда существуют 4 равновероятных исхода.

Таблица 2.1. Всевозможные исходы

И только 2 из возможных  исходов удовлетворяют критерию, указанному в вопросе. (Это варианты ДД, ДМ). Из-за того, что оба исхода из нового множества элементарных исходов {ДД, ДМ} равновероятны, и только один из исходов содержит 2-х девочек - ДД. Таким образом, вероятность того, что оба ребёнка девочки равна 1/2.

2.3 ВТОРОЙ ВОПРОС

       У  мистера Смита двое детей. При  этом хотя бы один из детей  – мальчик. Какова вероятность  того, что оба ребёнка мальчики? Второй вопрос похож на первый, однако вместо утверждения о том, что старший ребёнок мальчик в вопросе говорится о том, что хотя бы один из детей мальчик. В ответ на критику со стороны читателей Гарднер соглашается, что из-за "невозможности детально описать процедуру рандомизации" его изначальная формулировка имеет 2 способа интерпретации метода отбора семьи:

1. Из всех семей с двумя детьми, где хотя бы один мальчик, выбрана произвольная семья. В этом случае ответ 1/3.

2. Из всех семей с двумя детьми, один ребёнок выбирается случайным образом, и пол этого ребёнка задан. В этом случае ответ 1/2.

Очевидно, что каждый мистер Смит имеет по одному сыну (это необходимое условие), однако не ясно, будет ли каждый мистер Смит с одним сыном попадать под наше рассмотрение. В этом и заключается проблема: утверждение не говорит, что наличие сына – есть достаточное условие для включения мистера Смита в «выборку». При этом , Бар-Хиллель и Фальк комментируя работу Гарднера замечают, что «Мистер Смит в отличие от читателя естественно знает, какого пола его дети, когда утверждает что-либо. И отталкиваясь от ответа: «У меня двое детей и хотя бы один из них мальчик» правильным, по их мнению будет ответить 1/3 как изначально и предлагал Гарднер.

2.4 АНАЛИЗ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ

Если допустить, что  семья выбрана по принципу, что  в ней есть хотя бы один ребёнок-мальчик  и при этом наличие мальчика принимается  как необходимое и достаточное  условие, то остаются три из четырёх  равновероятных исхода для семьи  с двумя детьми среди описанного выше множества элементарных исходов.

Таблица 2.2. Всевозможные исходы , при условии что хотя бы один ребёнок-мальчик

При допущении, что в  процессе поиска мальчика рассматриваются  оба ребёнка, ответом на второй вопрос будет 1/3. Однако, если сначала была выбрана семья, а потом уже наложено условие на пол ребёнка, то правильным способом подсчета будет уже не подсчет подходящих вариантов, а вычисление условной вероятности для каждого случая.

Таблица 2.3. Всевозможные исходы и их вероятности, при условии, что сначала была выбрана семья, а потом уже наложено условие на пол ребёнка

Ответ получен путём  вычисления условной вероятности (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2.

Заметим, что в случае с выбором  конкретного ребёнка все произойдет несколько иначе и аналогичный  ответ будет получен с помощью  других вычислений. Например, если сначала  мы будем узнавать пол младшего ребёнка, тогда(1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2.