Основные свойства непрерывных функций: теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции. Непрерывность в экономике

Определение 1.

Функцией распределения  случайной величины Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

F(x) = ( X < x).

Геометрический  смысл.

F(x) — это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, изображаемое точкой на числовой оси левее точки х. По виду функции F(x) определяется и вид случайной величины. Уточним понятие непрерывной случайной величины.

Определение 2.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения  есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

 

Таким образом, дискретную случайную  величину можно считать кусочно-непрерывной. Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств:

1. Область значений функции  распределения лежит на отрезке [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1

2. Функция распределения  является неубывающей, т.е.

F(x₂) ≥ F(x₁) при x₂ ≥ x₁

3. Если возможные значения  случайной величины находятся  на интервале (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b.

 

Из указанных свойств вытекают важные следствия:

 

1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала (α, β), равна разности значений функции распределения на концах этого интервала:

P (α ≤ X ≤ β) = F(β) – F(α).

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
3. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х расположены на всей числовой оси, то

 

График функции распределения  непрерывной случайной величины:

Пример.

Найти функцию распределения  процентного изменения стоимости  акций по данным и построить ее график.

 

 

Решение.

Перепишем таблицу распределения  дискретной случайной величины в  порядке возрастания ее возможных  значений:

 

Если х ≤ 5, то F(x) = 0. Если 5 < х ≤ 10, то F(x) = 0,1. На интервале 10 < х ≤ 15 применяем теорему сложения вероятностей, так как события Х < 10 и 10 < Х ≤ 15 несовместны: F(x) = 0,1 + 0,1 = 0,2. Аналогично определяются значения F(x) на других интервалах: при 15 < х ≤ 20 F(x) = 0,4; при 20 < х ≤ 25 F(x) = 0,7; при 25 < х ≤ 30 F(x) = 0,9; при х > 30 имеем достоверное событие (все случаи изменения стоимости акций исчерпаны), т.е. F(x) = 1. Таким образом, искомая функция распределения имеет следующую аналитическую форму записи:

График этой функции распределения:

 

Заключение.

 

В данной работе мы рассмотрели  основные свойства непрерывных функций, доказали теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса, рассмотрели примеры на применение данных теорем, которые наглядно показали, как данные свойства помогают решать множество задач, а так же узнали, что непрерывность существует в экономике. Данное исследование помогло приобрести нам навыки владения теоремами Больцано-Коши и Вейерштрасса в математическом анализе, а также разобраться с непрерывностью в экономике, и научиться решать экономические задачи с применением свойств непрерывности.

Подводя итог, можно отметить, что математический аппарат - важнейший  инструмент экономического анализа, организации  и управления. Математическая культура составляет стержень научного знания и значение математики, как основы фундаментальных исследований постоянно  возрастает.

Математика интенсивно проникает  в другие науки, это происходит благодаря  ее дифференциации на ряд самостоятельных  областей. Экономика, как наука об объективных причинах функционирования и развития общества, еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое  число математических дисциплин.

Математический анализ - фундамент всех знаний в математике. Именно на этой классической основе, ассимилированной с экономической теорией, мы формируем  строгость мышления будущих специалистов экономики, учета и финансов.

Использование математического  аппарата в сфере экономической  деятельности началось задолго до изобретения  компьютера. Но особое значение математического  аппарата проявилось в компьютеризации  экономической деятельности. Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности связанные со спецификой экономических проблем и задач, а также с большим разнообразием подходов к их решению.

 Многолетние наблюдения  показывают, что обоснование применения  каждой изучаемой темы в конкретных  экономических дисциплинах стимулирует  у студентов интерес к изучаемому  разделу математики, способствует  лучшему усвоению материала. Математические методы и модели в экономике являются наиболее значимым разделом среди блока математических дисциплин в учебных программах по экономическим специальностям. Исходным моментом является здесь то, что исследуется не сам реальный  экономический процесс, а некоторый идеальный процесс, абстрактная модель, от которой требуется, чтобы она сохраняла основные черты рассматриваемого экономического процесса. В то же время модель должна быть достаточно простой для изучения ее математическими методами.

Разработка математических методов и моделей оптимизации отдельных производственно-экономических процессов, общественного производства в целом, оказалось тесно связанной с конкретными проблемами экономической теории: теорией стоимости, ценообразования. Во всей полноте вновь встала проблема измерения затрат и результатов производства, эффективности капиталовложений и путей рационального использования ресурсов производства. Возникла необходимость выявления сущности предельных величин, их роли в экономическом анализе, в процессах ценообразования и определения эффективности затрат.

Применение математических методов и моделей в экономике  поставило перед экономической  наукой ряд важных методологических проблем, связанных с выяснением закономерностей оптимизации общественного  производства и его отдельных  процессов, вызвало необходимость  анализа и обобщения теоретических  основ математического моделирования  народнохозяйственных процессов.

В конечном счете, без знания высшей математики мы не сможем понять статьи в ведущих международных журналах по экономике, без этих знаний мы не поймем содержание Нобелевских лекций по экономике Эрроу, Саймона и Солоу. Не стоит забывать, что В.В. Леонтьев и Л.В. Канторович получили свои Нобелевские премии за применение математики в экономике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
2. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984.
3. Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
4. Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
5. Натанзон С. М. Краткий курс математического анализа. МЦНМО. Москва. 2004.