Основные свойства непрерывных функций: теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции. Непрерывность в экономике

Государственное казенное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Российская Таможенная Академия»

 

 

Кафедра таможенной статистики

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Математический  анализ»

на тему: «Основные свойства непрерывных функций: теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции. Непрерывность в экономике»

 

 

 

 

 

 

                                               Выполнил: Д. А. Павлюченков, студент 1-го курса

                             очной формы обучения экономического

      факультета, группа Э121Б

 

             Проверила: Г. О. Вафодорова

                                           Оценка__________________________________

                                          Подпись________________________________

                «     » _______________2012 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Люберцы

                                                   2012 год

Содержание.

 

Введение3

Глава 1. Функции непрерывные на отрезке. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса 6

1. . Функции непрерывные на отрезке6
2. . Теорема Больцано-Коши7
3. . Теоремы Вейерштрасса8

1.3.1. Первая теорема8

1.3.2. Вторая теорема9

Глава 2. Примеры решения  задач на теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса10

Глава 3. Непрерывность в  экономике12

Заключение15

Список литературы18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа  экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических  субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической  теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Так, например, в современной  экономике мы можем встретить  и понятие непрерывной функции. Часто, открывая экономические задачники, мы можем натолкнуться на условие  «Найдите непрерывную функцию предельной полезности прироста блага Х». Так что же значит непрерывная функция? Какое применение она находит в экономике?

Итак, непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.

В свою очередь можно задаться вопросом: «Что же такое вещественная прямая?». Введем понятие вещественного числа – это математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения именно непрерывных величин.

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Для наглядности приведем основные свойства функций, непрерывных на отрезке, которые мы будем рассматривать непосредственно в курсовой работе:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
2. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса).
3. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

 

Теорема Вейерштрасса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Она устанавливает характеристическое свойство непрерывных функций. Данная теорема показывает, что класс непрерывных функций не очень далек от класса многочленов, оправдывает наше интуитивное представление о функции как об аналитическом выражении.

Это утверждение, доказанное в 1885 г., является одной из самых «рабочих лошадок» в анализе и приложениях. После Вейерштрасса многими математиками были предложены различные доказательства его теоремы как существовательского характера, так и конструктивного. Во всех из них используется теорема Кантора о равномерной непрерывности. Очевидно, в доказательстве теоремы Вейерштрасса достаточно ограничиться каким-нибудь частным случаем отрезка, например, когда a = 0, b = 1. Сам Вейерштрасс выводил возможность аппроксимации непрерывной функции алгебраическими многочленами из аналогичного приближения тригонометрическими многочленами на отрезке [−π ,π ].

Теорема  Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними. Сформулирована же теорема Больцано — Коши была независимо Больцано в 1817 году и Коши в 1821.

Цели и задачи данной работы:

- Сформулировать и доказать  теоремы Больцано – Коши и Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях;

- Привести примеры решения  задач на доказанные теоремы;

- Раскрыть использование  непрерывности в экономике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Функции непрерывные на отрезке. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса.

 

Для доказательств теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса, нам понадобится узнать, что означают  понятия непрерывной функции и функции непрерывной на отрезке.

 

1. Функции непрерывные на отрезке.

Непрерывная функция —  функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения  аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание: Функция, непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b.

Множество функций, непрерывных  на отрезке [a, b] обозначается символом С[a, b].

 

2. Теорема Больцано-Коши.

 

Теорема.

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) ≠ f(b). Тогда для любого числа С, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка m ∈ (a, b), что f(m) = C. Или, проще говоря, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

Геометрический  смысл.

Всякая прямая y=C, где A<C<B, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке.

Доказательство.

Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) – C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка m ∈ (a, b), что g(m)=0. Разделим отрезок [a, b] точкой x₀ на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x₀) = 0 и, значит, искомая точка m = x₀ найдена, либо g(x₀) ≠ 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом – больше.

Обозначим этот отрезок [a₁, b₁] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и так далее. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке m, в которой g(m) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a_n, b_n] по длине стремящихся к нулю и таких, что

 

g(a_n) < 0 < g(b_n) (1)

Пусть m – общая точка всех отрезков [a_n, b_n], n = 1,2, … Тогда m = . Поэтому, в силу непрерывности функции g

 

g(m)= (2)

Из (1) находим, что 

(3)

Из (2) и (3) следует, что g(m) = 0

 

Следствие.

Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает  значения разных знаков, то на этом отрезке  есть хотя бы одна точка, в которой  функция обращается в нуль.

 

3. Теоремы Вейерштрасса.

 

Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup_E f (α = inf_E f), если существует такая точка x₀ ∈ E, что f(x₀) = β (f(x₀) = α)

Для наглядности обозначим, что супремум — это наименьшая из всех верхних граней и обозначается как sup_E f, в свою очередь инфимум — это наибольшая из всех нижних граней и обозначается как inf_E f.

 

1.  Первая теорема.

 

Теорема.

Если f непрерывна на [a,b], то она ограничена на нем, то есть существует такое число M, что |f(x)| ≤ M, при всех x ∈ [a,b].

Доказательство.

Допустим противное, что f неограниченна на [a, b]. Тогда для n∈ N найдется на [a, b] точка x_n такая, что

|f(x_n)| ≥ n  (4)

По теореме Больцано – Вейерштрасса, из последовательности {x_n} можно выделить последовательность {}, имеющую конечный предел

 x₀ ,

Причем очевидно a ≤ x₀ ≤ b. В силу непрерывности функции f имеем

 f(x₀),

А это невозможно, так  как из (4) следует, что →∞.

Полученное противоречие доказывает теорему.

 

2.  Вторая теорема.

 

Теорема.

Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.

Доказательство.

Пусть

M = .

В силу предыдущей теоремы M – конечное число. Допустим, что f(x) < M при всех x ∈ [a, b], то есть верхняя грань не достигается. Тогда рассмотрим вспомогательную функцию

φ(x) = .

Так как знаменатель в  ноль не обращается, то φ будет непрерывной на [a, b] функцией, а значит, по предыдущей теореме она будет ограничена на [a, b]: φ(x) ≤ y, где y ∈ ℝ, y > 0. Но отсюда находим, что

 ≤ y , , f(x) ≤ M –   для всех x ∈ [a, b] ,

То есть число M – оказывается верхней границей для f чего быть не может, ибо M есть наименьшая из верхних границ. Полученное противоречие доказывает, что в [a, b] находится точка x₀ такая, что f(x₀)= M. Аналогично доказывается и утверждение о достигаемой нижней грани.

 

Глава 2. Примеры решения задач на теоремы Больцано – Коши и Вейерштрасса

 

Пример 1.

Функция  задана на всей вещественной оси, причем выполняется равенство

F (x+1) f(x) + f(x+1) + 1 = 0.

Доказать, что f не может быть непрерывной.

Решение.

Функция f не может принимать значение -1. Действительно, при f(x) = -1 имеем 1 = 0. Значит, для всех x f(x) > -1 или f (x) < -1. Выразим из нашего равенства f (x+1):

F (x+1) = -

Значит, неравенство f(x) < -1 невозможно, иначе f(x+1) > 0.

Если же f(x) > -1, то должно выполняться неравенство - > -1, откуда f(x) > 0 и

F(x+2) = - = - = - = - (1 +

Следовательно, получаем, что f(x+2) < -1. Противоречие.

 

Пример 2.

Найти все непрерывные  функции f(x), удовлетворяющие соотношению f(2x) = f(x) для любого x.

Решение.

В данное уравнение подставим x/2 вместо x (это можно сделать, так как функция определена для всех x), и еще несколько раз проделаем то же самое, получим:

F(x) = f () = () = … = () = …

По непрерывности функции f в нуле имеем

F(x)  = .

Получили, что f(x) = f(0) = c, то есть функция f – постоянная

 

Пример 3.

Найти точки верхней и  нижней грани непрерывной функции f на отрезке [a; b]. В качестве примера возьмем функцию y = sinx на отрезке      [0, 4]

Решение.

Построим график функции y = sinx на отрезке [0, 4]

 

Исходя из данного графика, можно наблюдать, что функция  на данном отрезке имеет сразу  две нижние и две верхние грани. Верхнюю грань синусоида достигает  в точках и . Нижнюю же грань график достигает в точках и .

 

Глава 3. Непрерывность в экономике.

 

Пусть Х — непрерывная случайная величина, значения которой сплошь заполняют интервал [а, b]. Пусть х — действительное число. Обозначим вероятность события того, что Х примет значение, меньшее x, через F(x).