Основные свойства модуля

 

Основные свойства модуля

1.

2.

3.

4.

5. , 

6.

7.

8.

9.

10.

 

 

 

Алгоритм  решения уравнения вида можно оформить в виде следующей таблицы

 

Значение а	Уравнение	Решение уравнения
a<0	│f(x)│= a	Уравнение не имеет корней
a=0	│f(x)│= 0	f(x)=0
a>0	│f(x)│= a	f(x)=a или f(x)=-a

 

Пример 1.

Решение : 2х-3=5  или   2х-3=-5

х=4    х=-1

Ответ: -1; 4.

Пример 2.

Решение: х² - х = 6  или  х² – х = -6

х² – х – 6 = 0   х² – х + 6 = 0

х₁=-2; х₂=3   корней нет

Ответ: -2;3.

Пример 3.

Решение: х² + х + 1 = 0

корней нет, так как дискриминант уравнения меньше нуля.

Ответ: корней нет.

Пример 4.

Решение: корней нет, так как -2<0.

Ответ: корней нет.

.

 

Пример 5. | x²– 4х |= 4

x²– 4х  = 4        или    x²– 4х = – 4

x²– 4х  – 4=0;             x²– 4х  + 4=0

х_1,2 =2 ± 2 ;              х_3,4 = 2

Ответ: 2 ± 2 ;    2.

Упражнения для самостоятельной  работы:

1. |5 x+1 |=4       | x²– 4 |= 5                 | x– |=

2. | x– 5 |=4       | x²– 2х |= 3         | 3– 4х |= 3

3. |2х–5  |= 3      | x²– 2х |= 1  | x²– х–1 |= 1   

4. | 3– 4х |= 1      | x²– 3х |= 2  | x²–х–5 |=1  

5. | 5– 4х |= 3      | x²+ 3х |= 2  | x²–5х+6|=2

 

 

Алгоритм  решения уравнения 

1 способ. По определению модуля действительного числа уравнение равносильно совокупности

2 способ. Уравнение равносильно смешанной системе

 

Пример 6.

Решение:   

Ответ: -1.

 

Пример 7.

Решение:

Ответ: -3; 1; 3.

 

Пример 8.

Решение:  

Ответ: -3;3.

Упражнения  для самостоятельной работы:

1). |х+2  |= 6– 2х                           11).|2х²– 1|= х ²– 2х + 3

2).|3х– 7|=2х + 1            12).|5– х²|= х²– 7

3).|х– 1|=х + 8                                13).|х²+3х|=1 – х

4).|х+3  |=3(4– х)                           14).|х²+3х– 4|= х ²– 7х – 2

5).|х²–3х|=4 – х      15).|х²+3х+2|= (5х +16)

6). |х²+3х– 10|=3х– 1                     16). |х²– 4|=х + 2

7). |х²–4х– 12|=6– х                        17). |х²–х + 3|= – х – 1

8). |х²–4х+ 3|=2х–2                        18).  |х²+2х–5| = (х–1) 

9). |х²–7х+ 12|= х²+8х– 3               19).  |3х+3  |= 4– 4х² 

10).|х– 1|= 3х²                                   20).  |х| = 1– х² – 3х

 

Алгоритм  решения уравнения .

1 способ. Уравнение вида равносильно совокупности систем

2 способ. Воспользуемся четностью функции . Нули этой функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а – корень, х = -а -тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные найденным корням.

Пример 1.

Решение:

Ответ: -2;2.

 

 

 

 

Пример 2.

Решение:

Ответ: -2;2.

 

Пример 3.

Решение: Ответ: корней нет.

 

Алгоритм  решения уравнения .

Уравнение данного вида равносильно  совокупности

Далее надо рассмотреть  схемы решений следующих уравнений и неравенств:

1)

1 способ     2 способ

  

Второй способ хорош тем, что  не надо сравнивать f(x) с нулём

Например,

(3)

2)

3)

4)

5)

 

 

Пример 1

Решение:

Ответ:

Пример 2.

Решение:

Ответ: 2.

 

 

Упражнения  для самостоятельной работы:

 

1). | х² +6 х + 8 |= | 7х –6|               7).  | 2х –1|=|  х +3|

2). | 3х² –5х – 2 |= | х² +6х –16|        8). |х–2  |=|  3х +9|

3). | 2х² –1|=|  х²– 2х – 3|                9).  |х–2  |=|  3 –3х|

4). | 2х –3|=|  х +7|                          10). |х – х² –1|= | 2х –3 + х²|

5). |  х +7|= |х–2  |                           11). | х² +4 х + 3 |= | х +1|

6). | х² –1|= |  х +5|                          12). |х–2 |=3|  3 – х|  

 

Алгоритм  решения уравнения

Уравнение данного вида равносильно системе 

Пример

Решение:

Ответ: 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ  подстановки ( замены переменной ).

 

  х² –6| х| + 5 = 0.    по   свойству   х² =| х|²    имеем:

| х|²–6| х| + 5 = 0. Применим подстановку | х| = t ≥ 0, Тогда получим уравнение  t ² – 6t + 5 = 0, t₁ = 1,  t₂ = 5.

1. | х|=1,  х_1,2  = ± 1;

2. | х|=5,  х_3,4  = ± 5

 

Ответ: –5; – 1; 1; 5. 

 

Примеры:

 

а). х² –6| х| + 8= 0.

   | х|²–6| х| + 8 = 0.

   | х| = у ≥ 0, у ² – 6у + 8 = 0, у₁ = 4,  у₂ = 2;

1. | х|=4,  х_1,2  = ± 4; 
2. | х|=2  х_3,4  = ± 2.

 

       Ответ: – 4; –2; 2; 4.

 

а). х² +| х| – 2= 0.

   | х|² +| х| – 2= 0

   | х| = у ≥ 0,  у² +у – 2= 0, у₁ = – 2,  у₂ = 1;

1. | х|= –2,  корней нет 
2. | х|=2  х_1,2 = ± 1.

 

       Ответ:   ± 1.

 

Упражнения  для самостоятельной работы:

 

1).   х² –2| х| – 3= 0                          9).  х² –3| х| = 0

2).   х² –| х| – 2= 0                           10).  х² –| х| + 2= 0                           

3).  х² +5| х| + 4= 0                         11).  х² –2| х| + 3= 0   

4).  х² –6| х| + 5= 0                          12).  х² –7| х| + 12= 0

5).   х² –5| х| + 6= 0                         13).  х² –2| х| – 35 = 0

6).   х² +| х| + 2= 0                          14).  х² –| х| – 6 = 0

7).   х² –4| х| + 5= 0                         15).  х² –2| х| – 4 = 0

8).  х² –3| х| + 2= 0                          16).  Х² +7| х| +12= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм  решения уравнения

Для решения уравнения  выполним следующую последовательность шагов:

1. найдем нули всех подмодульных выражений;
2. отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;
3. на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражения и раскроем модули по определению;
4. составим и решим совокупность смешанных систем.

 

Пример 7.

Решение: 1)

2)

	х<-1	-1≤х<3	х≥3
х-3	-	-	+
х+1	-	+	+

 

3)

Ответ: -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод интервалов ( для решения всех типов  уравнений с модулями).

   Метод интервалов -  это универсальный метод решения уравнений всех видов с модулями.

   Метод интервалов  состоит в том, что область  определения уравнения разбивается на промежутки, в каждом из которых  все подмодульные выражения сохраняют знак. Для этого достаточно найти корни подмодульных выражений и расположить их в порядке возрастания. Концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков. Раскрыть модули ( входящие в уравнение) на каждом промежутке. Для этого необходимо число из данного промежутка подставить вместо переменной в подмодульное выражение. Определив знак подмодульного выражения, освободиться от модуля. Решить уравнение на каждом промежутке своё и найденные решения объединить в ответе.

 

Примеры:

а). | х–1 |+| х +2|= 1.

 

Найдем корни подмодульных выражений 

х – 1 =0,  х = 1;

х +2 = 0 , х= – 2.

            

                                     .              .                 х

                                                  –2                     1  

 

   Решим уравнения на промежутках.

      Ι.  (–∞;–2): –х+1–х–2 = 1;  –2х – 1 = 1;   –2х =2;  х  = – 1;

 – 1 (–∞;–2); корней нет

    ΙΙ.  [–2; 1] ; –х + 1+х + 2 = 1; 0х = –2, решений нет.

   ΙΙΙ.  ( 1; + ∞ ); х – 1  + х + 2 = 1;  2х + 1 = 1; 2х = 0; х = 0; 0 ( 1; + ∞ ); корней нет.

 

                    Ответ:  корней нет.

 

б). |2 х + 1  |+ |5 –3 х |+1– 4х= 0 .

 

2х + 1 = 0;      2х= – 1;  х = –  .

5 – 3х = 0; – 3х= –  5; х = =

 

                             .                  .                  х

                                     –                          

 

      Ι.  (–∞;– ): –2х–1+ 5 –3х+ 1 –4 = 0;  –9х +5 = 0;   х = ; 

  (–∞;– ); корней нет.

    ΙΙ.  [– ; ] ;    2х + 1 + 5 – 3х + 1– 4х = 0  ;   –5х = –7,           х = , х = [– ; ];  - корень уравнения.

   ΙΙΙ.  ( ; + ∞ ) ; 2х + 1 – 5+ 3х + 1– 4х = 0; х – 3 = 0,          х = 3 ( ; + ∞ ); х = 3- корень уравнения.

 

                      Ответ: ; 3.

 

в). |  х – 1  |+ |х –2 | = 1

 

х – 1 = 0,  х = 1.

х –2 = 0,   х = 2.

 

                                         .                  .                           х

                                          1              2

 

      Ι.  (–∞;1) :   – х + 1 –х + 2 – 1; –2х + 3 = 1;   – 2х = – 2;

х = 1 (–∞;1), корней нет.

     ΙΙ.  [1; 2] ;   х – 1 – х + 2 = 1; 0х + 1 = 1; 0х = 0, х – любое число х из промежутка [1; 2]  .

    ΙΙΙ.  (2; + ∞ ); х – 1 + х – 2 = 1; 2х –3 = 1; 2х = 4;                 х = 2 (2; + ∞ ), корней нет.

 

       Ответ: [1; 2]

 

 

Упражнения  для самостоятельной работы

 

1). |  х + 4  |– |х –3 |= 1          9). | 2 х + 6  |+|3х +7 |= х – 3

2). |  х |+ |х –1|+ |х –2|= 6     10). |  х–1 |+ | х –2|+ |х –3 |= 4

3). |  х + 4  |+ |х –3 |= 7        11). |х–1|–| х|+ 3|х –1|–|х –2|=х+2

4). |  х |+ |х –1|+ |х –2|= 2     12). |  х + 2  |– | 5 – х |= –7

5). |  х |–  |х –2| = 2                 13). |х –4|+ |х +4|= 9

6). |х –3|+|х +2|–|х –4|=3      14). |  х |+ |х –1|+ |х –2|= 6  

7). |5–х |+|х +2|=|3–х |          15). |  х–1 |+ | х –2|= |х –3 |– 4

8). |х|–2|х +1|+3|х +2|= 0     16).  х² – |х –2| – 10 = 0  

 

 

Уравнения со «сложным»  модулем.

 

      К таким  уравнениям относятся уравнения, в которых под знаком модуля находится функция, в записи которой  один или несколько  модулей, то есть «модули под модулем». Уравнения данного вида можно решать методом  интервалов  или применяя свойства модуля.

 

Примеры:

 

а). | 3 – |  х | |=4

 

                | 3 – |  х | |=4

 

     3 – | х| = 4    или     3 – | х|= – 4   

    – | х| = 1                      – | х|= – 7

       | х| = –1                       | х|=  7

 корней нет                         х = ±7

 

       Ответ: ±7

б). |3 + | х + 1||= 5

 

     5>0,           |3 + | х + 1||= 5

  

 

           3 + | х + 1|= 5   или     3 + | х + 1|= –5 

             | х + 1|=2                     | х + 1|= –8

                                                  корней нет

 

х + 1 =2       х + 1 = –2

х₁ =1             х₂ = –3

 

         Ответ: 1;–3.

 

в). ||| х |  –1|–1|=1.

 

                           ||| х |  –1|–1|=1