(2.9)

      а как нам известно из общего курса  математического анализа, тригонометрические функции {cos kt} ортогональны на отрезке [–π, π]. Легко проверить, что равенство (2.9) остается справедливым и при k=0, m ≠ 0. Теорема доказана.

      2.2 Нормирование системы функций, построенной на основе полиномов Чебышева

      Для того, чтоб нормировать систему функций (2.7), вычислим их нормы /1/.

      Для этого в формуле (2.8) примем m = k ≠ 0, получим:

      

      Отсюда, ортонормированная система функций (2.7), полученная с помощью полиномов Чебышева имеет вид:

                                

                                (2.10)

      Коэффициенты  Фурье функции f по ортонормированной системе (2.10):

                        

                  (2.11)

      3 Примеры аппроксимации функций

      Пример  3.1. Функцию на отрезке [–1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.

      Решение. Полином Q₅(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:

                   

                              (3.1)

      где P_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полиномы Лежандра, а

      Так как функция |x| четная и P_k(x) четны при k четном и нечетны при k нечетном, то получаем

      

      Отсюда  используя формулы (1.3), находим

      

      и

      с₁ = с₂ = с₃ = 0.

      Подставляя  эти значения коэффициентов в  формулу (3.1), получим

      

      Следовательно,

      

      График  полученной функции приведен на рисунке  3.1.

      Пример  3.2. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [–1, 1] полиномом четвертой степени.

      Решение. Полином Q₄(х) будем искать в виде

                        

                        (3.2)

      где φ_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полученные с помощью полиномов Чебышева функции.

      Тогда, в условиях нашей задачи и с учетом формулы (2.10), получаем:

      

      Так как Т_2k+1(x) – функции нечетные, а Т_2k(x) – четные, то с_2k+1 = 0 и

      

      Используя для Т_2k(x) формулу (2.2), имеем:

      

      

      

      Подставляя  найденные значения коэффициентов в формулу (3.2), находим:

      

      Сравним полученный результат с примером разложения функции по полиномам Лежандра, в котором функция f(x) аппроксимировалась многочленом

      

      В нашем случае при х = 1 имеем

      

 
 

      тогда как

      

      т.е. мы видим, что система функций {φ_k} «ближе» аппроксимировали функцию в точке х = 1. Это видно на рисунке 3.1. 

        

      Рисунок 3.1 – Результат примеров аппроксимации (примеры 3.1 и 3.2)

       

      Пример  3.3. Функцию на отрезке [–1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.

      Решение. Полином Q₄(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:

                   

                              (3.3)

      где P_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полиномы Лежандра, а

      Для вычисления коэффициентов с_k применен программный продукт MathCad (рабочий документ MathCad'а приведен в приложении С).

        

      Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.3), получаем:

      

      График  полученной функции приведен на рисунке  3.2. 

      Пример  3.4. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [–1, 1] полиномом четвертой степени.

      Решение. Полином Q₄(х) будем искать в виде

                        

                      (3.4)

      где φ_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полученные с помощью полиномов Чебышева функции.

      Коэффициенты с_k рассчитаны в системе MathCad (см. приложение С).

          

             

        

      Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.4), получаем:

      

      График  полученной функции приведен на рисунке 3.2.

 

Рисунок 3.2 – Результат примеров аппроксимации (примеры 3.3 и 3.4) 

Из рисунка  3.2 видно, что аппроксимация не достаточно точная. Чтобы повысить точность аппроксимации, нужно брать большую степень полинома. Это следует из тождества Бесселя:

      

      При увеличении n (степени полинома), сумма полинома не уменьшается, а, следовательно, отклонение не увеличивается.

 

       Приложение  А

      Первые 10 полиномов Лежандра P_n(x)

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

 

      Приложение  B

      Первые 12 полиномов Чебышева T_n(x)

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

 

      Приложение  С

      Рабочий документ MathCad'а

        

      Расчет  коэффициентов с_k для полиномов Лежандра:

      

      

        

      Расчет  коэффициентов с_k для полиномов Чебышева:

      

      

 

      Список  используемой литературы:

1. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.3. Шувалова. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
2. Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, том 2. – М.: Наука, 1982. – 417 с.
3. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Математический анализ. – М.: МГУ, 1987. – 358 с.