Определители матриц. Виды матриц. Операции над матрицами

Матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими, если AB=BA.

Теорема 2.3 Операция умножения  матриц обладает следующими свойствами:

1) (AB)C=A(BC); (Свойство ассоциативности)

2)   , для любого действительного числа 

3) A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC (Свойство дистрибутивности), для любых матриц A, B, C,для которых левые части равенств имеют смысл.

Справедливость  свойств 2) и 3) доказываются непосредственно.

В качестве иллюстрации  приведём доказательство первого равенства  свойства 3). Пусть  ,   ,   . Матрицы A(B+C) и AB+ACимеют одинаковый размер -   . Пусть   - элемент матрицы A(B+C) в позиции (i,j),  - элемент матрицы AB+AC в позиции (i,j), тогда

Из равенств (1) и (2) следует, что   , что доказывает первое равенство свойства 3).

Подробное доказательство свойства 1) можно найти в учебнике В. А. Ильин, Г. Д. Ким "Линейная алгебра  и аналитическая геометрия".

Заметим, что  для любой матрицы   и единичных матрицы   и  справедливо:

Транспонирование  матриц. Пусть   . Матрица  называется транспонированной к матрице A, если

Транспонированная матрица также обозначается символами   и   .

Заметим, что  при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы   , с теми же номерами, а столбцы - строками.

Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

1)   ;

2)   , для любого действительного числа   ;

3)   ;

4)   , для любых матриц A и B, для которых имеют смысл левые части равенств.

Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения.

Приведём  доказательство свойства 3). Пусть   и   , при таком согласовании размеров матриц A и B произведения AB и   существуют, при этом размеры   и   совпадают и равны   . Пусть   - элемент матрицы AB в позиции (i,j),   - элемент матрицы   ,   - элемент матрицы   в позиции (i,j).

что доказывает справедливость свойства 3).