Ответы к зачету по курсу

                «Линейная алгебра»

1. Определители матриц. Виды матриц. Операции над матрицами.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ  МАТРИЦ 

 

 

Определение. Матрицей из m строк, n столбцов назыается прямоугольная таблица чисел  ;  - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n  - квадратная матрица.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице  , называется число  .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Алгебраическим дополнение    элемента   называется число, равное  .

Определение. Дополнительным минором  элемента   матрицы   называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы   вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

  .

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства  определителей.

1.        При транспонировании матрицы определитель не меняется.

4

2.        При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3.        При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число. 

4.        Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то  .

5.        Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель  равен нулю, если

- все элементы  некоторой строки (столбца) равны  нулю. 

- две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей.

1). Разложение  по строке или столбцу.

2). Метод  обращения в нуль всех, кроме  одного, элементов строки или  столбца. Метод состоит в том,  что с учетом свойств определителя  при помощи какого-либо столбца  (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке). 

3). Метод  приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.

4). Вычисление  с использованием теоремы Лапласа,  согласно которой определитель  - го порядка равен сумме произведений всех его миноров  -го порядка, стоящих в выделенных  строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры

1. Вычислить данный определитель  четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:    

5 

 

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

 
 

Полученные  в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе   нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В   единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать   по второй строке:  

  

6  

 

Таким образом окончательно получим 

2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы 

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим 

7

Представленный  в таком виде определитель разложим по первой строке: 

Определитель  третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

 
 

3. Используя  метод приведения к треугольному  виду вычислить определитель  из примера 2.

Решение. Воспользуемся видом определителя  , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки: 

  .

Далее с помощью второго столбца  занулим элементы второй строки, кроме  первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)     
 
 

8

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в  результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной   

диогонали:  .

Определители  матриц (Детерминанты)

Определители матриц (Детерминанты)

 

Определители матриц, способ № 1:

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

, где  М_1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицывычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, чтоопределители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:

Вообще  говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцуматрицы, т.е. справедлива формула:

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М_1k называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Дополнительный  минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равенопределителю матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

 

Определители матриц, способ № 2:

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно  по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Замечание:

Вычисление определителей матриц четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как:

• для нахождения определителя матрицы первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя;
• для нахождения определителя матрицы второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей;
• для нахождения определителя матрицы третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей;
• для нахождения определителя матрицы четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.

Определить  количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 
1! = 1 
2! = 1 × 2 = 2 
3! = 1 × 2 × 3 = 6 
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...

 

Виды матриц. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей  размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу  можно обозначать одной заглавной  буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу  размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице  число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой  число строк не равно числу  столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.