Об ускорении сходимости последовательностей. ЮКЧ

 

Об  ускорении сходимости последовательностей. ЮКЧ. Эссе. 

1. Задача  преследования.

 

   Пусть в пространстве перемещается цель со скоростью  , постоянной по величине. Ее преследователь также перемещается с постоянной по величине скоростью  .  Для простоты считаем, что преследователь может определять положение цели в дискретные моменты времени. Возникает последовательность расстояний между целью и преследователем: , где - вектор положения преследователя в момент времени , а - вектор положения цели в тот же момент времени. Возникают следующие вопросы.

1. Как должна вести себя цель для того, чтобы ее не настигли?
2. Как должен вести себя преследователь для достижения цели?

Рассмотрим  несколько вариантов поведения.

- Пусть  , а интервал времени между измерениями расстояний может быть сделан как угодно малым. В таком случае (теория непрерывных игр) преследователю достаточно придерживаться стратегии соблюдения перемещения по так называемой кривой преследования: , чтобы обеспечивалось стремление функции к нулю.

- Пусть  , а интервал времени между измерениями расстояний не может быть сделан как угодно малым, причем преследователь перемещается по кривой преследования (стратегия гепарда).  В таком случае оптимальной стратегией для цели является «увертывание» от преследователя тем или иным способом (игра в догонялки). Все зависит от отношения и длины интервала времени между измерениями направления от преследователя до цели. Последовательность может как сходиться, так и расходиться, в отличие от случая непрерывного времени.

- Предположим,  . Если цель свободна в выборе направления перемещения, то она всегда может избежать столкновения с преследователем.

- Предположим,  . Если цель не свободна в выборе направления перемещения, то преследователь, выбрав правильную стратегию, может догнать цель. Это не является парадоксом, хотя и звучит парадоксально. Если бы это было не так, то лиса никогда бы не догнала зайца, охотники никогда бы не могли добыть лису, сыщики никогда бы не нашли преступника и т.д. В этом состоит задача «предсказания», или экстраполяции. Экстраполируется последовательность . Проще всего рассмотреть тот случай, когда о цели известно, что она довольно глупа и носится с высокой скоростью по окружности. Обладая этой дополнительной информацией, охотник не спеша выбирает правильное направление и выходит в то место, в котором вот-вот появится заяц. Для успешности охоты необходимо следующее.

А) Правильно  выбрать модель движения цели. В случае с зайцем моделью является окружность. В более сложных задачах, например, в преследовании преступника, модель может быть более сложной.

Б) Произвести измерения в количестве, достаточном  для идентификации модели, т.е. для  вычисления ее параметров. В случае с зайцем это центр окружности и ее радиус.

В) Руководствуясь построенной моделью, рассчитать момент встречи, т.е. экстраполировать свое движение.  

2. Помехи

   Во  всех реальных задачах измерения  не могут быть произведены абсолютно точно. Точные модели собраны в задачниках по арифметике, аналитической геометрии, математическому анализу и т.п. Кстати, это относится и к дифференциальным уравнениям, которые практически никогда не могут быть решены; исключения собранные в задачниках.

   Тем не менее, путь построения модели применяется на практике всегда. Вопрос упирается в точность ее идентификации. Вычисление параметров выбранной модели заменяется оценкой этих параметров. Если помехи велики, то задача экстраполяции либо неразрешима, либо решается случайно. Например, сыщик может случайно столкнуться с преследуемым, как это чаще всего бывает в кино. Еще одним примером является ситуация, когда за предсказания берутся экстрасенсы.

   Итак, в условиях наличия помех предсказание, или экстраполяция, может рассматриваться как попытка решения. Она может окончиться неуспехом; тогда попытки либо прекращают и продолжают тупое вычисление членов последовательности  , либо делают попытку чуть позже, когда ситуация становится более определенной. В случае успеха задача экстраполяции решается приближенно с точностью, которую надо оценить, т.е. отнестись к решению с осторожностью. 

3. Геометрическая  прогрессия.

 

   Пусть последовательность обладает тем свойством, что . Требуется, зная и , вычислить . Путь первый: последовательно вычислить все члены последовательности вплоть до заданного номера. Путь второй: экстраполировать, т.е. вычислить .

   Рассмотрим  последовательность , обладающую тем свойством, что . Зная и , требуется найти .

   

   

    .

   Более того; если , то мы можем экстраполировать эту последовательность, т.е. вычислить ее предел при :

    . 

4. Преобразование  Эйткена

 

   Эйткену принадлежит простая мысль (тупице она никак не может прийти в голову ввиду простоты этой мысли): вычислить результат экстраполяции, исходя из трех измерений членов последовательности (с равноотстоящими номерами):

    .

   Не  могу скрыть восхищения изяществом полученной формулы; выпишем ее еще раз:

    .

   Это есть так называемое дельта-преобразование Эйткена.

   Итак, если можно предположить, что последовательность связана с геометрической прогрессией, то сходимость этой последовательности можно ускорить, применив экстраполяцию Эйткена.

   К несчастью, к реальным последовательностям эту попытку приходится применять с осторожностью. Надо быть уверенным в двух вещах:

   - отношение двух последовательных  разностей членов последовательности должно быть примерно постоянным;

   - помехи должны быть невелики. 

5. Ускорение сходимости итерационных последовательностей по Эйткену

 

Итерационная  последовательность:

  , . 

Графическое изображение:

- преобразование Эйткена;

- истинный корень.

    При удачном стечении обстоятельств  приближение по Эйткену будет  находиться достаточно близко от истинного корня уравнения .

    При отсутствии помех и в том случае, когда производная близка к константе, - а это может наблюдаться вблизи истинного корня, преобразование Эйткена чрезвычайно эффективно, если производная близка к единице. Тогда преобразование Эйткена очень ускоряет итерационный процесс, позволяя перескакивать к тем членам итерационной последовательности,  которые очень далеки от начальных. После однократного дельта-преобразования можно попытаться, проделав еще две итерации, применить еще раз это преобразование.

    В литературе, тем не менее, много выражений  разочарований в применении этого метода.  Он очень тонкий, применим в узком наборе случаев. 

6. Упрощенная модель процесса адсорбции, как цепи Маркова

    

   Пусть в окрестности поверхности с выделенными точками (центрами атомов углерода) находятся модельные частицы молекул водорода. К свободному атому углерода с некоторой вероятностью может присоединиться молекула водорода. В отдельно взятый малый интервал времени количество присоединенных молекул может увеличиться на единицу, а может остаться прежним. Вероятность присоединения к отдельному свободному атому углерода при постоянном давлении газа одинакова. Но количество свободных атомов не постоянно.

   Опишем  систему в целом как находящуюся  в состоянии  , если количество занятых атомов равно . Тогда вероятность перехода в состояние на отдельном такте равна величине . Параметр постоянен при сохранении концентрации водорода, т.е. давления газа. Технически это реализуется как компенсация давления при изменении плотности.

   Присоединенная  молекула водорода может с некоторой вероятностью покинуть атом углерода; это является следствием температурных колебаний, приводящих к нормальности распределения тепловых скоростей. Вероятность системе перейти в состояние пропорциональна количеству занятых атомов углерода : . Параметр одинаков для всех частиц и постоянен при условии постоянства температуры.

   Вероятность системе остаться в состоянии  равна следующей разности: .

   В крайних состояниях элементы матрицы  Маркова таковы:  .

   Остальные элементы матрицы равны нулю.

   Векторы  вероятностей состояний цепи Маркова  на тактах и связаны соотношением:

    .

   На  каждом такте  существует распределение вероятностей по состояниям, для которого можно найти как математическое ожидание, так и дисперсию и среднеквадратичное отклонение , ,  .

     Последовательность ввиду конструкции данной цепи Маркова оказывается экспоненциальной. Для нее применимо преобразование Эйткена. После того, как количество тактов превысит десять – двадцать, - преобразование Эйткена позволяет получить предельное значение среднего количества занятых атомов углерода. Оно оказывается равным , или . Процентное соотношение заполнения для одиночной трубки равно .

Среднеквадратичное  отклонение также совпадает с  формулой, задаваемой формулой Бернулли :

   При   14.98. 

Покажем, что финальное распределение  совпадает с распределением Бернулли.

Для этого  надо решить систему уравнений:

.

Выпишем матрицу цепи Маркова, ограничившись строками и столбцами от до .

Затем выпишем равенство, полученное как  результат умножения вектора-строки   на  столбец матрицы :

.

Произведем  преобразования:

.

.

Простой проверкой убеждаемся, что если

, ,  , то приходим к тождеству:

Итак, . Условие нормировки имеет вид:

,  или

 Поэтому

,  где  .

Формула есть одна из возможных записей выражения для изотермы Ленгмюра [1]:  ,

где – доля заполнения поверхности,

 – константа равновесия,

 – парциальное давление  адсорбирующегося компонента.

В данном случае .

1 Фролов Ю.Г., Курс коллоидной химии. Поверхностные явления и дисперсные системы. М.:Химия, 1989. – 464 с.]

2. Слепичева М. А., Чернышев Ю. К., Угрюмов М. Л. Численное моделирование адсорбции молекулярного водорода на пучках параллельных углеродных нанотрубок / Вісник Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна.- № 987, вип.18.- 2011 р. – С. 113-119.

3. Чернышев Ю.К. Событийное программирование. Применение к решению некоторых задач физики /Х.: ХАИ.-2008. – 68 с.