Інтерполяція періодичних функцій

Міністерство  освіти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

«Ужгородський національний університет»

математичний факультет

кафедра системного аналізу  і теорії оптимізації

 

 

 

 

 

 

Курсова робота

 

Інтерполювання періодичних  функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                Студентки III-го курсу

                                                                                   Чучмай І.О.

                                                                                   Науковий керівник:

                                                                                   ст.вик.Глебена М.І.

 

 

 

 

 

                                 

                                     Ужгород 2012

 

Зміст

Вступ………………………………………………………………………………….

1. Постановка задачі  інтерполювання………………………………………………

2. Узагальнений інтерполяційний  многочлен. Система функцій Чебишева……..

3. Інтерполяційний многочлен  Лагранжа та його залишковий  член……………..

4. Інтерполювання періодичних функцій…………………………………………..

Література……………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 

     Чисельне розв’язання прикладних задач завжди цікавило математиків.

У курсах чисельних методів  вивчаються питання побудови, застосування і теоретичного обґрунтування алгоритмів наближеного розв’язання різних класів математичних задач.

     Наприклад, в обчислювальній практиці доводиться мати справу з функціями, заданими не аналітично, а таблично. Якщо функція задана значеннями в точках на проміжку , що належить до області визначення функції, використовується при розв’язанні деякої задачі, то під час розв’язання цієї задачі може виникнути потреба у відшуканні значень функції в інших точках проміжку . У цьому випадку будують функцію , досить просту для обчислень, яка в заданих точках набуває тих самих значень, що й , а в інших точках проміжку наближено представляє функцію з тією чи іншою мірою точності. І в розв’язуванні задачі замість функції використовують функцію . Задача  побудови такої функції називається задачею інтерполювання, а функція - інтерполяційною функцією. Задача інтерполювання виникає і тоді, коли функція на проміжку задана аналітично, але має складний вигляд. У цьому випадку може виникнути проблема наблизити функцію деякою простішою і зручнішою для обчислень функцією , яка у вибраних точках проміжку набуває тих же значень, що й функція , а у всіх інших точках проміжку наближено представляє функцію . Інтерполяційну функцію найчастіше відшукують у вигляді алгебраїчного чи тригонометричного многочлена.

 

 

 

 

 

 

 

1. Постановка задачі інтерполювання

 

Найпростіша задача інтерполювання виглядає так. На відрізку у точках , де , задані значення деякої функції :

, , …, .

Треба побудувати функцію  , яка належить до визначеного класу і в точках набуває таких же значень, що й , тобто

, , …, .

Точки прийнято називати вузлами інтерполювання, а функцію - інтерполяційною функцією.

Геометрично задача полягає у відшуканні кривої деякого визначеного типу, котра проходить через задану систему точок , , (рис.1.1).

 

 

 

Рис. 1.1. Геометрична інтерпретація задачі інтерполювання

 

 

У такій загальній постановці задача може мати нескінченну множину розв’язків або не мати розв’язку. Тому розглянемо постановку задачі в більш конкретному випадку і з’ясуємо умови, за яких задача має єдиний розв’язок.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Узагальнений інтерполяційний  многочлен. Система функцій Чебишева.

 

Нехай – простір дійсних функцій, визначених на проміжку , і . Припустимо, що точки , де , є вузлами інтерполювання. Інтерполяційну функцію, яка у вузлах інтерполювання набуває тих же значень, що й , шукатимемо у вигляді

  .     ( 2.1)

де  ( ) – деякі коефіцієнти, а є системою досить простих із лінійно незалежних на функцій.

Оскільки значення функцій  і у вузлах інтерполювання повинні збігатися, то

  ( ) .

Ми отримали систему  лінійних алгебраїчних рівнянь для  визначення коефіцієнтів ( ). Визначник цієї системи :

.

Якщо  , то система має єдиний розв’язок, який може бути знайдений за правилом Крамера :

  ( ) ,

де

 

.

Розклавши по елементах -го стовпчика, одержимо, що

  ( ) ,

де    ( ) – числові коефіцієнти. Підставивши в лінійну комбінацію і згрупувавши доданки відносно , отримаємо :

 

  ,

або

  ,

де

   ( ) .

Оскільки    ( ), то

Отже, якщо для заданого набору вузлів інтерполювання , то існує єдина лінійна комбінація вигляду (2.1) , для якої виконуються умови   ( ). Лінійну комбінацію  (2.1) називають узагальненим інтерполяційним многочленом.

З’ясуємо питання, за яких умов, накладених на систему лінійно незалежних функцій , задача інтерполювання має єдиний розв’язок для будь-якого набору вузлів інтерполювання.

Система лінійно незалежних на функцій називається системою Чебишева на цьому проміжку, якщо кожен узагальнений многочлен , побудований на основі цієї системи, хоч би один коефіцієнт котрого відмінний від нуля, має на не більше нулів.

 

Теорема1.(Критерій єдиності розв’язку задачі інтерполювання).

Для того, щоб для будь-якої функції  , визначеної на проміжку , і для будь-якого набору вузлів , де , при , задача інтерполювання мала єдиний розв’язок, необхідно і досить, щоб система функцій   ( ) була системою Чебишева на .

 

Теорема 2.

Якщо для системи функцій  виконуються умови:

1) є лінійно незалежною системою функцій на ;

2) , ;

3) на для всіх ( ), де

,

то система функцій ( ) є системою Чебишева на .

 

 

3. Інтерполяційний  многочлен Лагранжа та його залишковий член.

 

Нехай і , ( , при ) – вузли інтерполювання. Побудуємо інтерполяційний многочлен , де за систему лінійно незалежних функцій виберемо систему:

.

Запишемо  у вигляді

,

де  - у цьому випадку многочлен степеня , які задовольняють умову:

Ці многочлени можна відшукати, розв’язавши систему рівнянь

  ( ).

Однак їх можна визначити  і не розв’язуючи системи рівнянь. Позаяк є многочленом степеня , котрий набуває значення нуль у точках і дорівнює одиниці в точці , то

.

З умови  одержуємо, що

.

Тому

.

Отже, шуканий інтерполяційний  многочлен, який позначимо через , має такий вигляд:

і називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а многочлени - фундаментальними многочленами.

Оскільки многочлени можна записати у вигляді

,

де 

,

,

то

.

Многочлен Лагранжа збігається з функцією у вузлах інтерполювання. В інших точках маємо наближену рівність = . Різниця називається залишковим числом інтерполяційного многочлена Лагранжа.

Оцінка похибки інтерполювання.

Нехай . Для оцінки похибки розглянемо допоміжну функцію

,

де  - певна стала. Очевидно, . Доберемо так, щоб =0 маємо

.

Отже, при цьому значенні

функція набуває нульового значення на у ( +2)-х точках: . Тому на основі теореми Ролля функція має на хоча б один нуль. Позначимо точку, в якій , через . Тоді

.

Звідси

                                                      

(похідна ( +1)-го порядку від многочлена степеня дорівнює нулеві, а похідна від многочлена степеня +1 дорівнює ( +1)!). Із умови =0 одержуємо

.

Якщо прийняти

,

то остаточно матимемо  .

 

4. Інтерполювання періодичних функцій.

 

Нехай функція  , визначена на проміжку , є періодичною з періодом 2 . Побудуємо для функції інтерполяційний многочлен, який би у вузлах інтерполювання, що належить проміжкові , набував тих же значень, що й .

Оскільки  - періодична функція, то шукатимемо інтерполяційний многочлен у вигляді тригонометричного многочлена. Тому за систему лінійно незалежних функцій візьмемо таку систему періодичних на проміжку функцій:

.

Можна показати, що на проміжку система при будь-якому n є системою Чебишева, тобто будь-який тригонометричний многочлен

На проміжку має не більше 2n дійсних коренів. Тому із критерію єдиності розв’язку задачі інтерполювання випливає, що для кожної визначеної на періодичної функції з періодом 2 при будь-якому наборі із 2n+1 попарно різних вузлів із проміжку існує єдиний тригонометричний многочлен , який є інтерполяційним многочленом для за заданою системою вузлів інтерполювання, тобто який задовольняє умови

   ( ) .

Покажемо, що шуканим  тригонометричним многочленом є  многочлен

,

де

.

Справді, легко побачити, що

Тому    ( ). Оскільки

є тригонометричним многочленом  першого порядку, а добуток двох тригонометричних многочленів  і відповідно порядків p і q є тригонометричним многочленом порядку p q, то  є тригонометричним многочленом порядку n. Тому є тригонометричним многочленом порядку не вище n.

Особливий інтерес становить  випадок рівновіддалених вузлів

  ( ) .

Покажемо, що

.

Легко перевірити, що

Справді, якщо , то             і

,

.

Тому  , якщо .

Якщо  , то і рівність випливає з відомої тотожності

,

при . Із цієї тотожності також випливає, що є тригонометричним многочленом порядку n.

Отже,

,

або

,

 

де

  ;

  ;

  .

Якщо функція  визначена на проміжку і є періодичною з періодом ,  то проміжок    можна перевести в проміжок    лінійною заміною

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               Література

 

1. Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів:Видавничий центр Львівського національного університету імені Івана Франка,2004. – 408 с.

2. Турчак Л.И. – Основы численных методов. «Наука» Москва, 1987г.

3.  Калиткин Н. П., Численные методы. - М.: Наука, 1978

4. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной матиматике, изд.-II, «Высшая школа», Москва, 1990

5. Копченова Н.В., Марон И.А. – Вычислительная математика в примерах и задачах. «Наука» Москва, 1972г.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. - Численные методы, М., Наука, 1987

7. Вержбицкий В. М., Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. «Высшая школа» Москва, 2001