Інтегральне числення функції однієї змінної

Теорема. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

Формула Ньютона-Лейбніца

Будемо вважати, що нижня границя у визначеному  інтегралі 

 зафіксована, а верхня  буде змінюватися, тобто розглянемо інтеграл  (ми тут позначили змінну границю звичною для нас буквою ). При постійному  цей інтеграл буде функцією від  яку позначимо через

Теорема 1. Якщо неперервна функція і , то має місце рівність

                        

 Іншими словами, похідна від інтеграла за верхньою межею дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрування підставлено значення верхньої межі.           

 Наслідок.  Довільна неперервна функція має первісну.           

 Дійсно, якщо  функція   неперервна на відрізку то за теоремою про існування означеного інтеграла існує означений інтеграл , тобто існує функція За теоремою 1 вона є первісною від            

   Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні. Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки, астрономії і т. д.

Приклад . Обчислити  

Розв’язування.

Інтегрування  частинами

Якщо проінтегрувати обидві частини рівності

d[u(x) · v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x)

в межах від а до b, то одержимо

Звідси одержуємо важливу  формулу інтегрування частинами  визначеного інтеграла.

 

Приклад. Обчислити інтеграл  xcosxdx.

Розв'язування. Нехай u = x,  dv = cosxdx , тоді знаходимо du = dx, (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу, одержимо

 

Заміна змінної  у визначеному інтегралі

Теорема. Нехай задано інтеграл , де f (х) неперервна на відрізку [а,b]. Зробимо підстановку х = (t), а t ß, де (t) неперервно диференційована функція на відрізку [ ,ß].

Якщо:   1 при зміні t від до ß змінна х змінюється від а до b, тобто (а)= а, (ß) = b;

2   складна функція f[ (t)] визначена і неперервна на відрізку   [ ,ß], тоді має місце рівність

 

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тобто F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [ (t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо

Це означає, що функція   F[ (t)]  є первісною для функції

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей  ( ) = a та (ß) = b, одержуємо

що й треба було довести.

Приклад . Обчислити .

Розв’язування. Нехай t = , тоді   t² = 1 + х х = t² - 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність

 

Отже,

.