Нелинейные непрерывные динамические системы

Федеральное агентство по образованию

ГОУДПО 

Кафедра информатики и вычислительной математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа на тему:

     «Нелинейные непрерывные динамические системы» 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                   Выполнила: студентка

                                                               

                                                                                                 

                                                                  Проверила:   
 
 
 
 
 

Кострома 2010 г.

Задание 1.

Исследовать рост населения города Костромы, описав системы с помощью нелинейного дифференциального уравнения.

    Решение:

      Пусть - число жителей города Костромы (приближенное), тогда изменение населения можно задать следующим образом: x′=x(20 – bx),

где 20 - коэффициент рождаемости (знак плюс означает, во столько раз увеличилось население, а знак минус – уменьшилось).

Описав  систему нелинейно, возможно более  точное описание процесса роста населения, в отличие от линейного уравнения.

      Решим данное уравнение . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: . Проинтегрируем левую и правую части уравнения . Преобразуем подынтегральное выражение , тогда . Используя свойства логарифма, получаем , следовательно, . Выразим : .

Исходя  из этого решения, можно построить  фазовый портрет системы. 

Задание 2.

Описать взаимодействие популяций двух видов  – А и В при условии, что  популяция В гибнет с постоянной скоростью  .

    Решение:

Пусть – популяция В, а – популяция А. –  прирост числа вида В; член – гибель вида В; член – прирост числа вида А; член – гибель вида А.

Тогда скорость изменения вида В, можно описать, как ax+by, а скорость изменения вида А, можно описать как y-by.

Если  , популяция В может расти неограниченно, в противном случае популяция А обречена на вымирание. При сосуществовании обоих видов, имеется возможность баланса двух конкурирующих тенденций: вид А сокращает популяцию вида В и увеличивает свою собственную, находясь при этом под угрозой.

           Найдем неподвижные точки системы (1). Тогда

1) ax+y=0          ax-bax=0

y= -ax            ax(1-b)=0                x=0, y=0      О(0;0)

                     ax=0    1-b=0

                      a=0     b=1

2) 1-b=0 

    b=1                x=1, y=1      А(1;1)

Система (2) имеет два решения: .

Далее необходимо определить тип точек. Только для определения типа точки необходимо систему линеаризировать, то есть заменить на линейную.

           Линеаризуем систему (3) и получим:

      Составим  характеристическое уравнение системы (3).

      

      Характеристическое  уравнение, соответствующее точке , имеет положительный и отрицательный корни, следовательно, точка является седлом, в которой система (1) неустойчива.

      Характеристическое  уравнение, соответствующее точке , имеет два мнимых корня с нулевой действительной частью, следовательно, точка является центром, в которой система (1) устойчива.

Для полного  исследования необходимо построить фазовый портрет, то есть определить, имеются ли другие устойчивые множества. 

Задание 3.

Исследовать поведение системы:

     Решение:

        

 x′′=2yx′x²=2y³x′

y=0 , x′′=0           

         x=0,     x=ceº,   x′=0,    y=0 .  Получаем  

Эта система  имеет единственное решение –  точка О (0;0).

Подтверждение данного факта можно увидеть  на фазовом портрете. 

Задание 4.

Исследовать поведение системы в зависимости от изменения параметра .

     Решение:

       (1) 

      Найдем  неподвижные точки системы (1).

(2)

1) если  , то ; 2) если , то ;

3) . Из второго уравнения выразим и подставим в первое:

Преобразовав  первое уравнение, получим , следовательно, , тогда , а данное уравнение не имеет решения ни при каких значениях переменных.

      Система (2) имеет единственное решение  . Для того, чтобы определить тип точки, линеаризуем систему (1) в окрестности точки О.

      Найдем  частные производные правых частей уравнений системы (1):

;

;

      Тогда , , , .

      В нашем случае

      

(3)

      Составим  характеристическое уравнение системы (3).

      Характеристическое уравнение имеет два мнимых корня с положительной действительной частью, следовательно, точка является неустойчивым фокусом.

      При исследовании получилось выявить только одну точку, которая к тому же является неустойчивой.