Модель Леонтьева

Просуммировав по отраслям уравнения (1.1), в результате получим: 

?Xj = ??xij + ?Zj 

При этом аналогичное  суммирование уравнений (1.2) даст следующее: 

?Xi = ??xij + ?Yi 

Заметим, что левые  части равенств равны, так как  представляют собой весь валовый  общественный продукт. Первые слагаемые  правых частей этих равенств также  равны, их величина равна итогу первого  квадранта. Следовательно, должно соблюдаться  соотношение: 

?Zj = ?Yi (1.3) (7,238) 

Левая часть уравнения (3) есть сумма третьего квадранта, а  правая часть - итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе  соблюдается важнейший принцип  единства материального и стоимостного состава национального дохода.

§2.2 Технологическая  матрица как основа МОБ 

Основу информационного  обеспечения балансовых моделей  в экономике составляет матрица  коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая  таблица - таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции  в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы  продукции j-той отрасли требуется  определённое количество затрат промежуточной  продукции i-той отрасли, равное aij. Оно  не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим  образом (8, 103): 

aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n) (2.1) 

Итак, коэффициент  прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той  отрасли необходимо, если учитывать  только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли. 

С учётом формулы (2.1) систему уравнений баланса можно  переписать в виде: 

Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi , 

(i = 1, 2,...,n), или 

Xi= ?aijXj+Yi (2.3) 

если ввести в  рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат А, вектор-столбец  валовой продукции X и вектор-столбец  конечной продукции Y: 

|| x1 || || a11 a12 ... a1n || || y1 || 

|| x2 || || a21 a22 ... a2n || || y2 || 

X = || ... ||, A = || ... ... ... ... || , Y = || ... || , 

|| xn || || a1n a2n ... ann || || yn || 

то система уравнений (2.3) в матричной форме примет вид (1,238): 

X=AX+Y (2.4) 

данное уравнение, где A - постоянная технологическая  матрица и называется моделью  Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто  называют моделью "затраты-выпуск”. 

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов (11,239): 

· задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi): 

Y= (E-A)X, (2.5) 

(при этом E обозначает  единичную матрицу n-го порядка). 

· задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой  продукции каждой отрасли (Xi): 

X=(E-A) Y, (2.6) 

(при этом (E-A )-1 обозначает  матрицу, обратную (E-A)). 

· для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно  найти величины конечной продукции  первых отраслей и объёмы валовой  продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.4), а системой линейных уравнений (2.3). 

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит  в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной  матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. 

Переписав матричное  уравнение в виде: 

(E - A) X = Y, можно сделать  следующие выводы: 

Если матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю), тогда имеем: 

X = (E - A) -1 Y. 

Обозначим обратную матрицу В= (E - A)-1 

Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (2.6) теперь запишется как: 

X=BY (2.7) (11) 

Элементы матрицы  В будем обозначать через bij, тогда  из матричного уравнения (2.7) для любой i-той отрасли можно получить следующее  соотношение (11): 

Xi =?biYj, I=1…n 

В отличие от коэффициентов  прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных  непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся  к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. 

Чтобы выяснить экономический  смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами  конечного продукта: 

|| 1 || || 0 || || 0 || 

|| 0 || || 1 || || 0 || 

Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,..., Yn = ||... || . 

|| 0 || || 0 || || 1 || 

Тогда соответствующие  векторы валового выпуска будут: 

||s11|| ||s12|| ||s1n|| 

||s21|| ||s22|| ||sn2|| 

Y1 = ||.. .||, Y2 =||... ||, ..., Yn = ||... ||. 

||sn1|| ||sn2|| ||snn|| 

Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы  конечного продукта j-й отрасли. 

В соответствии с  экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных  значениях yi и aij. 

Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться  методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица  А называется продуктивной, если для  любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и  модель Леонтьева называется продуктивной (9). 

Существует несколько  критериев продуктивности матрицы  А. Один из них говорит о том, что  матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит  единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным. 

К необходимым же и достаточным условиям относят  следующие (11,241): 

1. матрица (E-A) неотрицательно  обратима, т.е. существует обратная  матрица (E-A) ?0; 

2. матричный ряд  E + A +A?+A? +…=? A? сходиться, причём его  сумма равна обратной матрице  (E-A); 

Вычислительные аспекты  решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением  матрицы коэффициентов полных материальных затрат. 

Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости  отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться  лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими  или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения  и сужает возможности анализа. К  числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что  в статических межотраслевых  моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт. 

§2.3 Динамические модели экономики типа "затраты-выпуск" 

В процессе совершенствования  и усложнения модели «затраты--выпуск»  был создан динамический вариант  системы, учитывавший технический  прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно  с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение. 

В отличие от статических  динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими  и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической  системы. 

В рассматриваемой  ниже динамической модели (которая  является развитием статической  межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется  их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы  уравнений лежит математическая зависимость между величиной  капитальных вложений и приростом  продукции. Решение системы, как  и в случае статической модели приводит к определению уровней  производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического  эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах. 

Ниже приведена  схема первых двух квадрантов динамического  межотраслевого баланса (11,255). 

 Таблица 1 Динамическая  модель МОБ 

Производ 

 отрасли 

Потребляющие отрасли  

Межотр. потоки текущих  затрат 

Межотрас потоки капитальных вложений 

Конечный продукт 

Валовый продукт  

1 

2 

… 

n 

1 

2 

. 

n    

1 x11 x12… x1n ?Ф11?Ф12 …  ?Ф1n Y1 X1 

2 x21 x22 …x2n ?Ф2 ?Ф22 …  ?Ф2n Y2 X2 

 … . . … . . . …  . . . 

n xn1 xn2 … xnn ?Фn1 ?Фn2 … ?Фnn Yn Xn  
 
 

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами xij совпадает  с соответствующей матрицей статистического  баланса. Элементы второй матрицы ?Фij показывают, какое количество продукции i-той  отрасли направлено в текущем  периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально  это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др. 

Для сравнения, в  статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной  в составе конечной продукции Yi каждой i-той отрасли. В динамической схеме  конечный продукт Yi включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и  общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост  оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма  потоков капиталовложений и конечного  продукта динамической модели равна  конечной продукции статистического  баланса (1,141): 

??Фij + Yi'= Yi 

поэтому уравнение  распределения продукции вида (1.2) преобразуется в динамическом балансе  в следующее (11,257): 

Xi =?xij +??Фij + Yi' i=1…n (3.1) 

Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как и  в статической модели через валовую  продукцию отраслей с помощью  коэффициентов прямых материальных затрат: 

xij = aijXj 

полагая, что прирост  продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать (11,257): 

?Фij =?ij?Xj i,j =1…n (3.2) 

?ij - коэффициенты  пропорциональности, экономический  смысл их заключается в том,  что они показывают, какое количество  продукции i-той отрасли должно  быть вложено в j-тую отрасль  для увеличения производственной  мощности j-той отрасли на единицу  продукции. Предполагается, что производственные  мощности используются полностью  и прирост продукции равен  приросту мощности. Коэффициенты ?ij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной  фондоёмкости. 

Они образуют квадратную матрицу n-го порядка (13): 

||?11 ?12 … ?1n || 

||?21 ?22 … ?2n || 

(?ij) = 

|| . . … . || 

||?n1 ?n2 … ?nn || 

Эта матрица коэффициентов  приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа  и планирования капитальных вложений. 

Далее, с помощью  коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов вложений ?ij систему уравнений (3.1) можно представить  в следующем виде (11,257): 

Xi = ?aijXj + ??ij?Xj + Yi' i=1…n (3.3) 

Учитывая, что все  объёмы валовой и конечной продукции  относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции  определён в сравнении с (t-1)-м  периодом (11,258):