Методы Адамса решения задачи Коши

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

     Во  многих областях науки и техники, а также отраслях наукоемкой промышленности, таких как: авиационная, космическая, химическая, энергетическая - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов, с дальнейшей их коррекцией .

     Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и  коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом, стоит задача решения  системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним  из методов интегрирования, на произвольном промежутке времени. Одними из оптимальных  методов дающих высокую точность результатов – является методы Адамса. Для повышения точности методов  используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага, что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования.

 

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

     Требуется найти функцию  удовлетворяющую при дифференциальному уравнению

  (1)

и начальному условию

.  (2)

     Условия существования и единственности решения поставленной задачи будем  считать выполненными.

     Обычно  приближенные методы разделяют на классы аналитических и численных.

     Аналитические методы те, что дают приближенное решение  в аналитическом виде, численные  – в виде значений искомой функции в заранее выбранных узлах.

     В задаче Коши

   (3) 

вычислить значения , , , , используя расчетные формулы

  (4)

и

   (5)

 

2 ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ

Метод Адамса.

Многошаговые  методы решения задачи Коши характеризуются  тем, что решение в текущем  узле зависит от данных не в одном  предыдущем узле, как это имеет  место в одношаговых методах, а от нескольких предыдущих узлах. Многие многошаговые методы различного порядка точности можно конструировать с помощью  квадратурного способа (т.е. с использованием эквивалентного интегрального уравнения).

Решение дифференциального уравнения  удовлетворяет интегральному соотношению:  

Если  решение задачи Коши получено в узлах  вплоть до k-го, то можно аппроксимировать подынтегральную функцию, например: интерполяционным многочленом какой-либо степени. Вычислив интеграл от построенного многочлена на отрезке получим ту или иную формулу Адамса. В частности, если использовать многочлен нулевой степени (то есть заменить подынтегральную функцию ее значением на левом конце отрезка в точке ), то получим явный метод Эйлера. Если проделать то же самое, но подынтегральную функцию аппроксимировать значением на правом конце в точке , то получим неявный метод Эйлера.

Метод Адамса-Бэшфортса-Моултона

Данный  метод типа предиктор–корректор  позволяет повысить точность вычислений метода Адамса за счет двойного вычисления значения функции  при определении на каждом новом шаге по .

Этап  предиктор. 

Аналогично  методу Адамса по значениям в узлах  рассчитывается “предварительное” значение решения в узле .  

С  помощью  полученного значения рассчитывается “предварительное”

значение  функции  в новой точке.

Этап  корректор 

На корректирующем этапе по методу Адамса 4-го порядка  по значениям в узлах  рассчитывается “окончательное” значение решения в узле.  

Методы  Адамса относятся с методам, в  которых вычисление искомой функции в точке зависит от значения этой функции в предыдущих точках, например, . Такие методы называются многошаговыми.

Пример.

Пусть каким-либо одношаговым методом  в точках вычислены соответственно значения следовательно можно считать известными - функция правой части уравнения (1) .

Для вычисления проинтегрируем обе части уравнения (1) от до , получим

(6)

     где   Очевидно, что узлы в новых переменных имеют вид .

     Для вычисления интеграла в (6) применим интерполяционную квадратурную формулу по узлам: и значениями . Имеем 

     где (7)

     Тогда из (6) получаем расчетную формулу  экстраполяционного метода Адамса

,  (8)

где определены (7)

     Название "экстраполяционный" обусловлено  тем, что интегрируя на промежутке до , мы "экстраполировали" эту функцию , положив равной , где узлы взяты из промежутка. 

     Для получения более точных расчетных  формул при вычислении интеграла  в (6) с помощью интерполяционной квадратурной формулы к числу  узлов интерполирования относят и узел , в котором вычисляется , т.е. .

     В этом случае получается расчетная формула

        (9)

где - интеграл от фундаментального интерполяционного полинома по узлам . Формула (9) называется расчетной формулой интерполяционного метода Адамса.

     Заметим, что параметры в (8) и в (9) от не зависят, а поэтому расчетные формулы (8) и (9) являются стационарными, т. е. не зависящими от номера шага .

     Отметим принципиальное отличие формул (8) и (9) . Запишем (9) в виде 

     Как видно из этой записи неизвестная ym+1 входит и в правую часть. Поэтому  интерполяционный метод (9) в отличие  от экстраполяционного (8) является неявным  и  находится из (9) каким-либо итерационным методом.

     При получении формул (8) и (9) для вычисления интеграла в (7) использован интерполяционный полином в форме Лагранжа. Если точность полученных формул оказалась недостаточной, то нужно добавить к узлам интерполирования ещё один узел , а поэтому придется пересчитывать и . Поэтому на практике интерполяционный полином берется в форме Ньютона для интерполирования в начале таблицы. В этом случае расчетная формула экстраполяционного метода Адамса принимает вид

(10)

     где - конечные разности -го порядка.

     Однако  следует отметить, что при использовании  формулы (10) на практике при  достаточно больших, происходит накопление арифметической погрешности при счете конечный разностей.

     Рассмотрим  теперь погрешность расчетных формул (8) (что то же, что и (10)) и (9). Обозначим, для краткости  

     При получении расчетной формулы (8) была использована нтерполяционная квадратурная формула

   (11)

где интерполяционный полином Лагранжа функции по равноотстоящим узлам .

     Тогда погрешность расчетной формулы (8) есть не что иное, как погрешность

квадратурной  формулы (11) , умноженной на . Имеем при условии

=

где последнее равенство  получено с использованием теоремы о среднем.

     Осталось  заметить, что , так как слева производная по , а справа полная производная по , а с учетом , погрешность расчетной формулы экстраполяционного метода Адамса, обозначим её , может быть записана

(12)

где 

Аналогичные рассуждения в  случае интерполяционного  метода Адамса дают его погрешность, обозначим её ,

   (13)

где .

     Как видно из формул (11) и (12) погрешность  расчетной формулы интерполяционного  метода, при условии ограниченности соответствующих производных, на порядок  выше, чем у экстраполяционного.

     Дадим другой способ получения погрешностей расчетных формул методов Адамса, позволяющий выделить главный член погрешности. Ограничимся лишь случаем экстраполяционного метода Адамса.

     Пусть для вычисления интеграла в формуле (6) использована квадратурная формула с узлами и коэффициентами . Тогда из (6) получается расчетная формула

   (13)

     Рассмотрим  функцию погрешности этой формулы

(14)

     Пусть теперь узлы и коэффициенты таковы, что выбранная квадратурная формула точна для любого многочлена степени n от α , что равносильно, она точна для .

Тогда узлы и коэффициенты должны удовлетворять  следующей системе:

   (15)

     Очевидно  . 
 

… 
 

Из последних  равенств следует, условия (15) эквивалентны тому, что  , определенная (14) , удовлетворяет условию , это означает, что еe разложение по степеням имеет вид 

Тогда (12) с выделением главного члена погрешности  примет вид 

где в (7) . 

 

3 ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ МЕТОДОВ

     Многошаговые  методы Адамса относятся к числу  наиболее экономичных методов, так как при одинаковой точности на одном шаге численного интегрирования требуется меньше вычислений правых частей дифференциальных уравнений по сравнению с одношаговыми методами. Также несомненным достоинством методов Адамса является их универсальность, то есть они могут быть применены для решения широкого класса задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

     Недостатком многошаговых методов является необходимость специального начального запуска метода. Другим недостатком многошаговых методов является сложность процедуры перестройки длины шага, поскольку простые формулы получаются лишь в случае равномерной сетки. Обойти эту трудность можно разными способами. Во-первых, можно строить методы, рассчитанные на неравномерные сетки.

     Такие методы требуют пересчета коэффициентов  на каждом шаге.

     Но  метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет по одному лишь известному значению. Расчет может быть начат  лишь с узла. Значения необходимые  для вычисления, нужно получить каким-либо другим способом, что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет изменить шаг в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Метод Адомса — разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках.