Методика изучения функций средней школы

1. История развития функции

     Впервые идея функции встречается у Декарта, который обратил внимание на соответствие между отрезками - ординатой и абсциссой некоторой точки. В 1673 году он ввел термин «функция». Аналогичную характеристику функции дал Лейбниц. Итак, первая трактовка функции носила геометрический характер. Постепенно понятие функции приобретает аналитический характер (Я. и И. Бернулли). В 1748 году Эйлер рассматривает функцию переменного количества. Функции переменно величины он считает аналитическое выражение, составленное каким-то способом из этой переменной величины и из числа или постоянной величины плюс линия, проведенная от руки. При таком определение объем понятия функции зависит от того, какие операции считаются аналитическими, ограничен способом задания функций, рассмотрением множеств не любой природы, а только удовлетворяющим аксиомам величины. Современное определение функций как соответствия между множествами любой природы принадлежит Н.И. Лобачевскому. В 1834 году он определяет функцию как зависимость между объектами, понимая под объектами числа. В 1837 году Дирихле распространяет это определение на объекты разной природы, но оставляет статическим (исключая переменные величин). В курсе алгебры это определение вошло под названием определения Дирихле-Лобачевского.

 

1. Цели изучения функций в основной школе

     Понятие функции в математике является одним из основных. Основные понятия алгебры и геометрии трактуются на функциональной основе.

     Использование свойств функций лежит в основе метода решения математических задач. Например, при решение уравнений и неравенств, их систем, часто полезно сравнивать области значений функций, стоящих в левой и правой частях. Может оказаться, что их пересечение пусто или равно одной точке. Это позволяет сделать вывод о решение уравнения или неравенства. При решение задач с параметрами часто помогают найти решение графики рассматриваемых в задании функций. Вообще графическое решение, основанное на использовании графиков функций, является одним из методов решения математических задач.

     Функция имеет общекультурное, мировоззренческое  значение. Ее изучение знакомит учащихся с идеей всеобщей связи, идеей  непрерывности бесконечности, интерполяции (приближения). Все процессы, зависящие от времени, представляют собой функциональные зависимости. Функция является моделью многих реальных процессов. Изучение свойств функций позволяет познавать явления окружающего мира. Функциональные зависимости используются в разных науках и учебных дисциплинах. Изучение функций в школе позволяет показать учащимся значимость и распространенность этого понятия, увидеть, что практически нет учебных предметов, где бы не изучались функции; многие законы, связи имеют функциональную основу.

     Если  рассматривать развивающие цели, то изучение функций, в первую очередь, способствует развитию функционального мышления, отвечающего за видение зависимости между изменениями разных объектов, а так же целям, которые ставятся при изучение алгебраического материала (развитие умения работать с абстрактным материалом, умения ан6ализировать и д.р.).  

1.2. Трактовки понятия  «функции» 

     Различные трактовки понятия «функции»  можно разделить на два блока. Первый блок объединяет определения, которые  можно отнести к классическим, традиционным, опирающимся на понятие  переменной величины. Эти определения используются в традиционной школе. В них функция определяется как:

• переменная величина, числовое значение которой изменяется в зависимости от числового значения другой;
• закон (правило), по которому значения зависимой переменной величины зависят (соответствуют) от значений рассматриваемой независимой переменной.

Такого  рода определения появились ранее  второго блока определений, которые  относят к современным, имеющим  теоретико-множественную основ:

• пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X задана функция, принимающая значение из Y, если элементу x из множества Х поставлен в соответствие один и только один элемент из Y;
• функция рассматривается как закон, по которому элементу х из множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из Y;
• функция рассматривается как соответствие, по которому элементу х из множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из Y;
• Отношение хFy, где х принадлежит Х, а у принадлежит Y, называется функциональным, если порожденное им множество пар однозначно, то есть в нем нет различных пар с одинаковыми первыми элементами.

 

     1.3. Формирование понятия  «функции» в школьном  обучении

     Исторический  подход к понятию функции в  школьном курсе предполагает повторение в обучение этапов, через которые это понятие прошло в науке. Но в школе изучают только зависимости между числами, поэтому рассматриваются только числовые функции. Изучение этого понятия имеет шесть уровней.

1. Пропедевтический уровень (первый этап). Имеет место в начальной школе. При изучение различных тем учащимся разъясняется, что такое зависимости между величинами. Например, уже при изучении сложения учащиеся наблюдают, что происходит со значение суммы при изменении одного из слагаемых. При решение задач, они рассматривают зависимости изменения одной величины от другой, на пример стоимости от цены.

По окончанию  начальной школы у учащихся есть все знания, необходимые для решения  уравнения типа 2 + 56 : (3(х – 3) – 7) = 9. они решают их на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. Сначала определяют, какое действие выполняется последним, затем находят, какой компонент этого действия содержит неизвестное, выражают этот компонент через остальные и т.д., до тех пор, пока в качестве компонента не будет неизвестное. В данном примере последнее действие – сложение, неизвестное в слагаемом, следовательно, выражаем это слагаемое через разность суммы и другого слагаемого.

2. Пропедевтический уровень (второй этап). Реализуются в 5 -6 классах. Отличается от первого содержанием деятельности учащихся. Составляются таблицы значений переменных, наглядно представленных зависимостей. Рассматриваются диаграммы, в которых наглядно представлены зависимости между дискретным величинами, графики температур и т.д.
3. Базовый уровень. Реализуется в 7 классе на содержательной основе. Функция рассматривается как связь, закон («Алгебра-7», под ред. С.А. Теляковского) или как зависимая переменная ( Ш.А. Алимов и др. «Алгебра-7»). Водится понятийный аппарат (независимая и зависимая переменная, график, область определения, область значения). Рассматриваются различные способы задания функции (формулой, таблицей, графически, описанием). В разных учебниках перечисленные понятия вводятся либо через примеры, либо явно. В качестве задач предлагаются задачи на движение, на нахождение площади. Этот уровень очень важен. Здесь необходимо сформировать общее представление о функции и ее свойствах.  Ученики должны понимать, что функции бывают разрывные. Графики функций на разных участках могут быть разными кривыми, прямыми линиями. Учитывая, что семиклассники находятся на стадии перехода к понятийному мышлению, а значит, для них значимы образы, целесообразно знакомить учащихся с функциями на наглядной основе, используя графики.

Четвертый, пятый и шестой уровни изучения функций реализуются в старшей школе. 

     1.4. Изучение функции  с учетом когнитивных  стилей учащихся

     В школе в основном реализуются  формальный и аналитический подходы  к изучению функций, т.е. ученики  запоминают определение понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами. Это связано с тем, что в большинстве заданий приводятся функции, заданные аналитически, а упражнения образного характера и графикам уделяется недостаточное внимание. В комплектах учебниках Мордковича А.Г. и др. предпринято попытка подойти к изучению функции менее формально, максимально используя графическое представление функции.

     Графики функций помогают разобраться, какой  процесс описывает данная функция  – непрерывный или дискретный; понять многие свойства функций, такие, как монотонность на множестве, нули функции, области положительных и отрицательных значений функции. При этом «каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности» [4].

     Обучение  функциям позволяет одну и туже информацию представлять в различной форме соответствующей разным познавательным стилям. Так, одни и те же задания можно выполнять двумя способами: графически и аналитически. Кроме того, при рассмотрение функций у учителя появляется возможность многие понятия и свойства вводить многосенсорно.

     Можно выделить некоторые особенности  организации изучения тем линии  функции с учетом психофизиологических особенностей учащихся.

     Во-первых, в начале этапа закрепления не стоит обязательно требовать  правильных ответов от учащихся с преобладанием рефлексивного стиля. Она должны привыкнуть к материалу, осознать его специфику. При проверки обучающих самостоятельных работ целесообразно результатам дать, в первую очередь, качественную оценку, постараться рефлексивным ребятам увеличить время выполнения работы.

     Во-вторых, на этапах введения и закрепления  понятия целесообразно организовать работу в парах. Учитель должен помочь ученикам перейти в другие модальности. Для кинестетиков желательны вопросы  о том, что они слышали и видели, для аудиалов – что видели, для визуалов - что слышали.

     В-третьих, для организации работы с учебным  материалом, рассчитанным на разные познавательные стили, целесообразно организовывать задания в блоке, называемые блоками  стратегий. В каждый блок включаются задания с одинаковой математической сутью, но позволяющие работать с разными стратегиями, например, аналитической и графической.

     ПРИМЕРЫ

     Задание 1.

1. Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (-∞; -2) и (5; +∞) и убывающей на промежутке (-2; 5). (Для аналитиков)
2. Выпишите промежутки возрастания и убывания графика функции (рис. 1). Если необходимо, выделите разными цветами соответствующие значения независимой переменной. (Для синтетиков.)

                  
 
 
 
 
 

                                                        Рис.1 
 
 
 
 

Задание 2.

1. Обведите номера формул, которые задают линейную функцию, запишите под этими формулами значения коэффициентов b и k:

1. ; б) ; в) ; г) ; д) ( Для аналитиков.)

2. Придумайте и запишите формулу, задающую линейную функцию. Выпишите для нее значения коэффициентов b и k. (Для синтетиков.)

Задание 3.

1. Нарисуйте схематично на одной координатной плоскости графики следующих функций и подпишите их:

а) ; б) ; в) ; г) (Для аналитиков.)

2. На рисунке схематично изображены графики функций, записанные аналитически. Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)

 

Задание 4.

1. Нарисуйте схематично в одной системе координат разными цветами графики функций:

а) ; б) ; в) . (Для аналитиков.)

3. Сопоставите график квадратичной функции с ее аналитическим заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)

Задание 5.

1. Внизу записаны в виде промежутка области определения некоторых функций, а в верху – графики функций (рис. 3). Подпишите под каждым графиком область определения функции, заданной этим графиком (Для аналитиков.)

 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                             Рис.3

2. Функция задана графически (рис 2.). выделите разными цветами область определения на оси Ох и область значений на оси Оу. Запишите, чему равны область определения и область значений. (Для синтетиков.)