Метод решения неявного типа некорректных задач
Автор: Пользователь скрыл имя, 23 Октября 2013 в 21:30, курсовая работа
Описание работы
Встречается большой класс задач, где решения неустойчивы к малым изменениям исходных данных, т.е. сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям решений. Задачи подобного типа принадлежат к классу некорректных задач.
Если исходные данные известны приближённо, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближённого решения. Важен и сам по себе факт несходимости решения задачи с приближёнными данными к решению задачи с точными данными.
Содержание
Введение 3
Сходимость метода в случае априорного выбора числа итераций 4
Сходимость метода в случае неединственного решения 10
Сходимость метода в энергетической норме 12
Заключение 15
Литература 16
Работа содержит 1 файл
Kursovaya_gotovaya.docx
— 212.05 Кб (Скачать), . (13)
Оптимизируем оценку (13) по , при котором оценка погрешности становится минимальной. Приравняв нулю производную по от правой части (13), получим
. (14)
Подставив в оценку (13), её оптимальное значение
. (15)
Таким образом, справедлива
Теорема 6. Оптимальная оценка погрешности для метода (3) при условии в энергетической норме имеет вид (15) и получается при из (14).
Замечание 4. Из неравенства (15) вытекает, что оптимальная оценка погрешности не зависит от параметра . Но зависит от и, поскольку на нет ограничений сверху ( ), то за счет выбора можно получить , то есть минимальная оценка погрешности будет достигаться уже на первом шаге итераций. Для этого достаточно взять .
Рассмотрим вопрос о том, когда из сходимости в энергетической норме следует сходимость в обычной норме гильбертова пространства . Очевидно, для этого достаточно, чтобы при некотором фиксированном было , , где . Так как
то для выполнения последнего из указанных условий должно выполняться условие .
Таким образом, если решение и приближенная правая часть таковы, что и , то из сходимости к в энергетической норме вытекает сходимость в исходной норме гильбертова пространства и, следовательно, для сходимости в исходной норме пространства не требуется истокопредставимости точного решения.
Для решения уравнений
с несамосопряженным или
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе проведены теоретические исследования по изучению неявного итерационного метода решения некорректных задач. Основные результаты можно сформулировать следующим образом:
- Изучен неявный итерационный решения уравнений 1-го рода в гильбертовом пространстве;
- Доказана сходимость метода при точной и приближённой правой
части уравнения в случае единственного решения; - Получены априорные оценки погрешности метода, которые оптимизированы;
- Доказана сходимость метода в случае неединственного решения;
- Доказана сходимость метода в энергетической норме.
Изучен апостериорный выбор числа итераций в итерационном методе решения некорректных задач. Так же был изучен метод в случае, когда нет сведений об истокообразной представимости точного решения, пользуясь энергетической нормой гильбертова пространства.
ЛИТЕРАТУРА
- Матысик, О.В. Итерационный метод неявного типа решения некорректных задач в гильбертовом пространстве / О.В. Матысик, В.Ф. Савчук // Вестник Гродненского университета. Серия 2. 2011. – № 1(107). – С .36-42.
- Савчук, В.Ф. Методы решения некорректно поставленных задач / В.Ф. Савчук, О.В. Матысик // – 2012 – C. 95-117.
- Савчук, В.Ф. Выбор момента останова в методе итераций решения некорректных задач / В.Ф. Савчук, О.В. Матысик // Вестник Брестского университета. - 1998. - № 2. - С. 9-16.
- Тихонов,А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1979. - 288 с.