Метод решения неявного типа некорректных задач

, . (13)

Оптимизируем оценку (13) по , при котором оценка погрешности становится минимальной. Приравняв нулю производную по от правой части (13), получим

. (14)

Подставив в оценку (13), её оптимальное значение

. (15)

Таким образом, справедлива

Теорема 6. Оптимальная оценка погрешности для метода (3) при условии в энергетической норме имеет вид (15) и получается при из (14).

Замечание 4. Из неравенства (15) вытекает, что оптимальная оценка погрешности не зависит от параметра . Но зависит от и, поскольку на нет ограничений сверху ( ), то за счет выбора можно получить , то есть минимальная оценка погрешности будет достигаться уже на первом шаге итераций. Для этого достаточно взять .

Рассмотрим вопрос о том, когда из сходимости в энергетической норме следует сходимость в обычной  норме гильбертова пространства . Очевидно, для этого достаточно, чтобы при некотором фиксированном было , , где . Так как

то для выполнения последнего из указанных условий должно выполняться условие .

Таким образом, если решение  и приближенная правая часть таковы, что и , то из сходимости к в энергетической норме вытекает сходимость в исходной норме гильбертова пространства и, следовательно, для сходимости в исходной норме пространства не требуется истокопредставимости точного решения.

Для решения уравнений  с несамосопряженным или неположительным, но ограниченным оператором следует перейти к уравнению . Тогда при приближенном элементе метод (3) примет вид

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведены теоретические  исследования по изучению неявного итерационного метода решения некорректных задач. Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

1. Изучен неявный итерационный решения уравнений 1-го рода в гильбертовом пространстве;
2. Доказана сходимость метода при точной и приближённой правой 
   части уравнения в случае единственного решения;
3. Получены априорные оценки погрешности метода, которые оптимизированы;
4. Доказана сходимость метода в случае неединственного решения;
5. Доказана сходимость метода в энергетической норме.

Изучен апостериорный  выбор числа итераций в итерационном методе решения некорректных задач. Так же был изучен метод в случае, когда нет сведений об истокообразной представимости точного решения, пользуясь энергетической нормой гильбертова пространства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Матысик, О.В. Итерационный метод неявного типа решения некорректных задач в гильбертовом пространстве / О.В. Матысик, В.Ф. Савчук // Вестник Гродненского университета. Серия 2. 2011. – № 1(107). – С .36-42.
2. Савчук, В.Ф. Методы решения некорректно поставленных задач / В.Ф. Савчук, О.В. Матысик // – 2012 – C. 95-117.
3. Савчук, В.Ф. Выбор момента останова в методе итераций решения некорректных задач / В.Ф. Савчук, О.В. Матысик // Вестник Брестского университета. - 1998. - № 2. - С. 9-16.
4. Тихонов,А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1979. - 288 с.