Метод решения неявного типа некорректных задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования 
«Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина»

 

Физико-математический факультет

 
Кафедра прикладной математики и технологий программирования

 

 

 

Курсовая работа

 

 

 

 

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ НЕЯВНОГО ТИПА РЕШЕНИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ  ЗАДАЧ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ранцевич Виктор Игоревич 
студент 4 курса специальности «Прикладная математика»

 

Савчук Вячеслав Федорович

кандидат физико-математических наук, доцент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Брест 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Сходимость метода в случае априорного выбора числа итераций 4

Сходимость метода в случае неединственного решения 10

Сходимость метода в энергетической норме 12

Заключение 15

Литература 16

 

ВВЕДЕНИЕ

Встречается большой класс  задач, где решения неустойчивы  к малым изменениям исходных данных, т.е. сколь угодно малые изменения  исходных данных могут приводить  к большим изменениям решений. Задачи подобного типа принадлежат к  классу некорректных задач.

Если исходные данные известны приближённо, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближённого решения. Важен и сам по себе факт несходимости решения задачи с приближёнными данными к решению задачи с точными данными.

В данной курсовой работе рассмотрен метод итераций неявного типа и сходимость этого метода в случае априорного выбора числа итераций, в случае неединственного решения, а так же сходимость метода в энергетической норме и показаны достоинства ее использования.

 

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА В СЛУЧАЕ АПРИОРНОГО ВЫБОРА ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ

В гильбертовом пространстве исследуем операторное уравнение I рода

 

где – положительный ограниченный самосопряженный оператор, для которого нуль не является собственным значением. Однако предположим, что нуль принадлежит спектру оператора , поэтому задача (1) неустойчива, и, следовательно, не корректна. Для отыскания решения предлагается неявный итерационный метод

 

Предполагается существование  единственного точного решения  уравнения (1) при точной правой части , ищем его приближение , при приближенной правой части В этом случае метод (2) имеет вид

 

Ниже, под сходимость метода (3) понимается утверждение о том, что приближения (3) сколь угодно близко подходят к точному решению  уравнения (1) при подходящем выборе и достаточно малых , т.е. если

 

Теорема 1. Итерационный метод (2) при условии сходится в исходной форме гильбертова пространства.

Доказательство.

По индукции нетрудно показать, что

 

Используя интегральное представление  самосопряженного оператора 

 

 

Потребуем, чтобы при  выполнялось

 

 

 

 

так как при   сильно стремится к нулю в силу свойств спектральной  функции. Таким образом, доказано, что при условии (4) метод (2) сходится. Теорема 1 доказана.

Скорость убывания неизвестна и может быть сколь угодно малой. Для ее оценки предположим, что точное решение уравнения (1) истокообразно представимо, т.е. что . Тогда

 

Используя результаты, получим  оценку для подынтегральной функции:

 

Отсюда .

Но может оказаться, что  локальный максимум внутри , не будет являться глобальным, поэтому будем учитывать значение функции на правом конце отрезка, т.е. в точке (на левом конце отрезка ). Тогда справедливо

 

Покажем, что при условии (4) метод (3) можно сделать сходящимся, если нужным образом выбрать число  итераций в зависимости от уровня погрешности приближенной правой части уравнения (1). Рассмотрим разность

.

По доказанному . Убедимся, что можно сделать сходящимся к нулю. Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, имеем

 

Оценим сверху подынтегральную  функцию

 

при условии (4).

При

 

Ее производная равна

 

следовательно, – стационарная точка для функции . Поскольку , то - точка максимума функции и .

Покажем по индукции, что  при

 

При неравенство (5) проверено выше. В дальнейшем будем считать . Предположим, что (5) верно при , т.е. и рассмотрим

 

Поэтому

 

Покажем, что 

 

что равносильно неравенству

 

Имеем

 

Покажем, что каждый положительный  член ряда больше модуля следующего за ним отрицательного члена, что равносильно а это уже очевидно при Следовательно,

 

Вернемся к доказательству (6). Поскольку

 

то вместо (6) докажем более  сильное неравенство

 

Неравенство (7) выполняется, и, тем более справедливо неравенство (6). Таким образом для справедлива оценка (5), т.е. Отсюда

Поскольку

 

и , то для сходимости метода (3) достаточно выбрать , зависящим от так, чтобы

 

Итак, доказана.

Теорема 2. При условии (4)итерационный метод (3) сходится, если число итераций выбирать из условия

Запишем теперь общую оценку погрешности метода (3)

 

Так для достаточно больших 

 

то для этих справедлива оценка

 

Следовательно, справедлива

Теорема 3. Если решение уравнения (1) истокообразно представимо, то при условии (4) для метода (3) справедлива оценка погрешности(8).

Для минимизации оценки погрешности  вычислим правую часть оценки (8) в  точке, в которой производная  от нее равна нулю: в результате получим априорный момент останова

 

Подставив в оценку (8), имеем

 

Замечание 1. Оценка погрешности (10) имеет порядок , и он является оптимальным в классе задач с истокопредставимыми решениями

Замечание 2. Оптимальная оценка (10) не зависит от , но от параметра зависит , поэтому для уменьшения объема вычислительной работы следует брать , удовлетворяющим условию (4) и, чтобы . Для этого достаточно выбрать

 

Сравнение метода (3) с широко известным методом итераций показывает, что порядки их оптимальных оценок одинаковы. Достоинство явных методов в том, что явные методы не требуют обращения оператора, а требуют только вычисления значений оператора на последовательных приближениях. В этом смысле явный метод предпочтительнее неявного метода (3). Однако неявный метод (3) обладает следующим важным достоинством. В явном методе на шаг накладывается ограничение сверху – неравенство , что может привести на практике к необходимости большого числа вычислений. В неявном методе (3) ограничений сверху на нет. Это позволяет считать произвольно большим (независимо от ). В связи с чем оптимальную оценку для метода (3) можно получить уже на первом шаге итераций.

Рассмотрим погрешность  метода при счете с округлениями. Пусть   – точное значение, получаемое по формуле (3), а – значение с учетом вычислительной погрешности, т.е.

 

Здесь – погрешность вычислений. Обозначим и вычтем из неравенства (11) равенство (3). Имеем

 

Так как нулевые приближения  равны нулю, то . По индукции нетрудно получить, что

.

В силу (4) и тому, что справедливо

,

поэтому

, .

Таким образом, с учетом вычислительной погрешности оценка погрешности метода (3) запишется в виде

, .

 

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА В СЛУЧАЕ НЕЕДИНСТВЕННОГО

 РЕШЕНИЯ

Обозначим и пусть – ортогональное дополнение ядра до . Пусть – проекция , на , а – проекция на . Справедлива

Теорема 4. Пусть тогда для итерационного метода (2) верны следующие утверждения:

а)

б) итерационный процесс (2) сходится тогда и только тогда, когда уравнение  разрешимо в последнем случае , где - минимальное решение.

Доказательство.

Применим оператор к (2), получим

,

где . Так как , то получим

.

Обозначим , , тогда

.

Отсюда  , следовательно,

.

Имеем и – положительно определен в , т.е. . Так как , то . Поэтому справедлива цепочка неравенств

при , , откуда и  .

Отсюда 

.

Итак, утверждение а) доказано.

Докажем б). Пусть процесс (2) сходится. Покажем, что уравнение разрешимо. Из сходимости к и из а) следует, что , следовательно, и уравнение разрешимо.

Пусть теперь (уравнение разрешимо), следовательно, , где - минимальное решение уравнения (оно единственно в ). Тогда (2) примет вид

Отсюда  . Последнее равенство разобьем на два

;

так как  . Обозначим , тогда из равенства

получим

и, аналогично , можно показать, что , . Таким образом, . Отсюда . Теорема 2 доказана.

Замечание 3. Так как у нас , то , т.е. итерационный метод (2) сходится к нормальному решению, т.е. к решению с минимальной нормой.

 

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ НОРМЕ

В случае, когда нет сведений об истокопредставимости точного решения, затруднительно получить априорные оценки погрешности и априорный момент останова. И тем не менее, метод (3) можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться энергетической нормой гильбертова пространства

, где  .

Покажем сходимость метода (3) в энергетической норме и получим для него априорные оценки погрешности в энергетической норме. Рассмотрим разность

. (12)

Запишем первое слагаемое  в виде

.

Как было показано в подразделе 1, бесконечно мало в исходной норме гильбертова пространства при ,но скорость сходимости при этом может быть сколь угодно малой, и для её оценки делалось предположение об истокообразной представимости точного решения. При использовании энергетической нормы нам это дополнительное предположение не понадобится. Действительно, с помощью интегрального представления самосопряженного оператора , где и – соответствующая спектральная функция, имеем

.

Для оценки интересующей нас  нормы найдем максимум подынтегральной функции

 при  .

Функция – частный случай при функций. Там показано, что при условии

.

Следовательно, справедлива  оценка

Отсюда Таким образом, переход к энергетической норме как бы заменяет предположение об истокообразной представимости порядка для точного решения.

Оценим второе слагаемое  в (12). Как показано в [13], справедливо равенство

.

Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, получим

.

Обозначим через

подынтегральную функцию, а  через

,

тогда

.

Функция была оценена в [13]. Там показано, что при условии .

При этом же условии имеем

, ,

поэтому , откуда . Таким образом,

,

отсюда

, .

Поскольку

и , , то для сходимости , , достаточно, чтобы , , . Итак, доказана

Теорема 5. При условии итерационный метод (3) сходится в энергетической норме гильбертова пространства, если число итераций выбирать из условия при .

Запишем теперь общую оценку погрешности для (3) в энергетической норме