Матрицы и системы линейных уравнений

      Для определения указанных угловых  коэффициентов воспользуемся   формулой: 

                                    (*)

 позволяющей  вычислять тангенс угла φ между  двумя заданными прямыми по  их угловым коэффициентам К₁ и К₂; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой             у = К₁х + b₁ до прямой у = К₂х + b₂. Формула (*) оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент К_АС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ( ).

      Так диагонали ромба делят его  углы пополам, то, положив  (рисунок 1), из формулы         для тангенса двойного угла при  tg 2φ = 20/21 найдем tg φ:

      

       

Положим  z = tg φ; тогда ,   откуда 20z² + 42z – 20 = 0;

корнями этого квадратного уравнения  являются z₁ = и z₂ = -2,5; но так как угол φ в ромбе всегда острый, корень z₂ = -2,5 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ = .

      Угол  φ является углом между прямыми  ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (рисунок 1).

      Потому  в первом случае по формуле (*) имеем

      

                                               

                               , откуда при К_АС =     находим К_ВС =  .

                                                     

      Во  втором случае по формуле (*) имеем

                  К_CD – К_AC                    4        26

   =         , откуда при К_АС =         находим К_CD =        .

                     1 + К_CDК_AC             3          7

      Так как противоположные стороны  ромба параллельны, то тем самым  мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.

                        К_CD = K_AB = 26/7; K_BC = K_AD = 14/23.

      Зная  теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ:  у + 24 = 26/7 (х + 20), откуда -26х + 7у – 352 = 0.

Уравнение CD:  у + 4 = 26/7 (х + 5), откуда -26х + 7у – 102 = 0.

Уравнение ВС: у + 4 = 14/23 (х + 5), откуда -14х + 23у + 22 = 0.

Уравнение AD: у + 24 = 14/23 (х + 20), откуда -14х + 23у + 272 = 0.

      Вершины ромба являются точками пересечения  его соответствующих сторон. Поэтому  их координаты найдем путем совместного  решения уравнений этих сторон.

Для вершины В:

                  -26х_В + 7у_В – 352 = 0  =>  В (-15; -10)

                  -14х_В + 23у_В + 22 = 0   

Для вершины  D:

   -26х_D + 7у_D – 102 = 0  =>  D (-8; -17)

                  -14x_D + 23 y_D + 272 = 0

      Координаты  этих точек удовлетворяют ранее  найденному уравнению       

6х + 8у + 187 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность. Уточним теперь положение точек В и D на чертеже и завершим построение последнего.

      Площадь ромба вычислим по формуле S = ½ d₁d₂, где d₁ и d₂ – диагонали ромба.

      Полагая d₁ = |АС|, а d₂ = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:

                                    d₁ =

                                    d₂ =

В итоге  площадь ромба будет равна  S = ½ ∙ 25 ∙ 7 = 87,5 кв.ед.

Сделать чертеж по найденным  точкам.

Ответ

      АС: 20х - 15у + 40 = 0;   BD: 6х + 8у + 187 = 0;

      АВ:-26 х + 7у – 352 = 0;CD: -26х + 7у – 102 = 0;

      ВС: -14х + 23у + 22 = 0;AD: -14х +23у + 272 =0;

            В (-15; -10);    D (-8; -17);    S = 87,5.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 5 

   Найти собственные значения и собственные  векторы матрицы А=. 

Решение

Собственные значения матрицы А найдем из характеристического уравнения (формула 3.28  § 3.7. главы 3 [2]). 

,

, ,

Решая уравнение, получим:

Координаты  собственных векторов, которым соответствует  собственное значение найдем из характеристического уравнения :

, где с - любое действительное  число.

Координаты  собственных векторов, которым соответствует  собственное значение найдем из характеристического уравнения :

, где с - любое действительное  число.

Координаты  собственных векторов, которым соответствует  собственное значение найдем из характеристического уравнения :

, где с - любое действительное  число. 

Ответ: .