Образовательное учреждение профсоюзов

высшего профессионального образования

«Академия труда и социальных отношений»

Курганский  филиал

 

Финансовый  факультет 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 
 
 

по дисциплине: «Линейная алгебра» 
 

на тему: «31 вариант»

        

   
 
 

Студентка  гр.     ЗБ 1191                                                    О.С. Голова

Преподаватель:  ст. преподаватель                                    Н. В. Макеева  

                                               
 
 

Курган  – 2011

 

Содержание

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача  №1

Решить матричное  уравнение А· В+Х=2·А+3· Е, если 

 

Решение

      Для нахождения элементов неизвестной  матрицы выполним действия сложения, вычитания, умножения матриц и умножения  их на число.

      Матрицу с неизвестными оставим в левой  части уравнения, остальные матрицы  перенесем в правую часть меняя знак, и выполним все действия с матрицами.

      Х=2·А+ 3·Е - А·В 

1.  Выполним  умножение матриц (§ 1.2. главы 1 [2]). 

А·В= · =  

      2. Найдем матрицы 2·А и 3·Е (§ 1.2. главы 1 [2]). 

2·А=2· =

3·Е=3·

3. Выполним  сложение и вычитание матриц в правой части:

Х= + - = .

Ответ: . 
 

      Задача  №2

Решить систему  линейных уравнений двумя способами: методом Крамера и методом обратной матрицы.

         2х₁ + 3х₂ +х₃ = 4,              

        2х₁ + х₂ + 3х₃ = 0,                      

        3х₁+ 2х₂ + х₃ = 1.  

Решение

      Рассмотрим  решение системы линейных уравнений  первым способом: методом Крамера.

Пусть  А - матрица коэффициентов при неизвестных, Х- матрица – столбец неизвестных и В- матрица – столбец свободных членов:

А= ;  Х= ;  В= .

Найдем  определитель системы  = по формуле 1.4  § 1.3. главы 1 [2]. 

= = 2·1·1 + 2·2·1 + 3·3·3 – (3·1·1+2·3·1+2·3·2) = 12. Так как 0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим  определители матриц  , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

          

.

Теперь  по формулам Крамера ( формула 2.8 § 2.1. главы 2 [2])

; ;  ,

т.е. решение  системы  .

      Теперь  рассмотрим второй способ решения системы: метод обратной матрицы.

Левую часть системы можно записать в виде произведения матриц А·Х, а правую – в виде матрицы В. Следовательно, имеем матричное уравнение

                                               А·Х=В.                                                              (

        Решить матричное уравнение - это значит найти неизвестные матрицы X , т.е. найти все элементы этой матрицы таким образом, чтобы при подстановке их в уравнение ( они обратились в верное равенство.

      При решении матричных уравнений  поступают так же, как при решении  алгебраических, т.е. преобразуют уравнения  так, чтобы получить при неизвестном  коэффициент, равный 1. Так как нет  действия деления матриц, а роль единицы у матриц играет единичная  матрица, то вся задача сводится к  тому, чтобы получить при неизвестных  матрицах единичные, а для этого  нужно использовать обратную матрицу.

      Для получения единичной матрицы  при X нужно умножить обе части  уравнения ( на A^-1, а так как произведение матриц не подчиняется коммутативному закону, то A и A^-1 должны быть рядом, поэтому можно умножить обе части уравнения ( на A^-1 слева:

,

так как E×X=X, то получим формулу для решения матричного уравнения ( :

   X =A^-1×B .                                                    

Найдем  матрицу, обратную матрице А.

      1. Вычислим определитель матрицы  A.

.

      2. Найдем присоединенную матрицу  для A. Алгебраические дополнения  находятся для строк, а пишутся  в столбцы, т.е. сразу производится  транспонирование матрицы алгебраических  дополнений, используя формулу  (формула 1.8  § 1.3. главы 1 [2]). 

  ;   ;   ;                            ;                                 ;                     ;

  ;                                 ;                      .

Присоединенная  матрица  .

  3. Найдем обратную матрицу по  формуле:

  .

      4. Найдем X по формуле: 

   X= A^-1 ×B

.                                             

   Чтобы убедиться в правильности решения, нужно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

   Ответ:  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 3

            Исследовать данную систему уравнений  на совместность и решить ее, если она совместна.

  

Решение 

   Так как в данной системе число  уравнений меньше числа неизвестных, то система не может иметь единственного  решения, она либо несовместна, либо имеет множество решений. Выпишем  расширенную матрицу и выполним эквивалентные преобразования.

           

       .

Пояснения к решению:

      1. Переставить местами 1-ю и 3-ю строки.

      2. Первую строку умножить на (-2), затем на (-3) и прибавить ко 2-й и к 3-й строкам.

      3. Умножить вторую строку на 4, третью умножить на (-3).  

      В матрице не получилось противоречивой строки, значит система совместна и имеет множество решений, так как число строк меньше числа неизвестных по теореме Кронекера – Капелли (§ 2.4. главы 2 [2]).

       Система, соответствующая последней  матрице, имеет вид:

   

      В качестве основных неизвестных  можно взять неизвестные, соответствующие  столбцам отличного от нуля  минора 2-го порядка, приведенного к треугольному виду, остальные неизвестные перенести в правую часть.

  - множество решений.

   Если  придавать различные значения неизвестному x₁, то каждый раз будут получаться новые значения неизвестного x₂, те новые решения.

      

      Ответ:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 4

      В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если  А(-20,-24), С(-5,-4),  . Сделать чертеж. 

Решение

      Изобразим графически положение ромба в  прямоугольной системе координат  ХОУ:

      Зная  координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой,

      Y    0

      X 

 C

       φ

                                           B φ 
 

      E 

D 
 
 

      A 
 
 

Рисунок 1 – Схематичный  чертеж 
 

проходящей  через две заданные точки:     ;             

В форме  общего уравнения прямой оно примет вид

                              20х -15у + 40 =0,

а в  форме уравнения прямой с угловым  коэффициентом перепишется как 

                               ,  откуда  К_АС =  

Так как  в ромбе диагонали взаимно  перпендикулярны, то угловой коэффициент  диагонали BD будет равен   К_ВD =

Само  же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом К_BD.

      В качестве «заданной точки» возьмем  точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:

              Е (-12,5;-14)

      Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде у + 14 = - (х + 12,5),

      Откуда  у =  - х -     или   6х + 8у + 187 = 0.

      Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты   К_АВ = К_CD и К_ВС = К_AD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.