Матричные игры

 

Содержание

 

 

1. Введение…………………………………………………………………………2
2. Основная часть…………………………………………………………………..6
1. Теоретические основы темы «Матричные игры»……………………...6

2.1.1.Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры……………...8

2.1.2. Решение матричных игр в  смешанных стратегиях…………….11

2.1.3. Геометрическая интерпретация  матричной игры 2*2…………14

2.1.4.Приведение матричной игры  к задаче линейного

программирования………………………………………………………19

2. Практические основы темы «Матричные игры»……………………...23
3. Заключение……………………………………………………………………..31
4. Список использованной литературы…………………………………………32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых  необходимо принимать решения в  условиях неопределённости, т. е. возникают  ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий  партнёра. Такие ситуации, возникающие  при игре в шахматы, шашки, домино и т. д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Для грамотного решения  задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая  носит название теория матричных  игр.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

 Если игра повторяется  достаточно много раз, то игроков  может интересовать не выигрыш  и проигрыш в каждой конкретной  партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

 Целью исследуемой мной темы «Матричные игры» является изучение темы, постановка выводов и применение их на практике.

 Важнейшее ограничение матричных  игр – естественность выигрыша  как показателя эффективности,  в то время как в большинстве  реальных экономических задач  имеется более одного показателя  эффективности. Кроме того, в экономике,  как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров  не обязательно антагонистические.  Развитие аппарата матричных  игр для решения задач со  многими участниками, имеющими  непротиворечивые интересы, далеко  выходят за рамки изучаемой темы.

Тема  моего исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.

Выбранная  тема "Матричные игры " изучается на стыке сразу двух взаимосвязанных дисциплин: математики и экономики. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Матричные игры». Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы "Матричные игры". Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.  
Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы "Матричные игры " определяют несомненную новизну данного исследования. 
Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме "Матричные игры. " необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования. 
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к  рассматриваемой мной теме, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.  
Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа "Матричные игры". 
Теоретическое значение изучения проблемы "Матричные игры" заключается в том, что избранная мной для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин. 
Объектом данного исследования является анализ условий «Матричные игры». При этом предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования. 
Целью исследования является изучение темы с точки зрения теоретических и практических основ.  В рамках достижения поставленной цели автором были поставлены и решения следующие задачи: 
1. Изучить теоретические аспекты и выявить природу темы «Матричные игры».

2. Сказать об актуальности  проблемы "Матричные игры " в современных условиях; 
3. Изложить возможности решения тематики "Матричные игры"; 
4. Обозначить тенденции развития тематики "Матричные игры";  
Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 2 глав, заключение и библиографический список. 
Во введении обоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования и охарактеризованы методы исследования. 
Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические и теоретические аспекты темы "Матричные игры". Определяются основные понятия. В главе второй – практическое применение изучаемой темы.  Заключение содержит  выводы по исследуемой теме. Список источников литературы отображены в списке литературы.

 

2. Основная часть.

2.1. Теоретические основы изучаемой темы.

Теория игр – это теория математических моделей принятия оптимальных решений  в условиях конфликта или неопределённости. При этом конфликт не обязательно  должен быть антагонистическим, в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие.

Рассмотрим следующий экономический  пример. Пусть требуется принять  решение о выпуске на рынок  некоторого товара. Может случиться, что объём спроса на этот товар  известен точно; может быть, что известно лишь статистическое распределение  возможных значений спроса; наконец, может оказаться, что известны лишь границы, в которых заключен спрос, но ни каких даже вероятностных соображений о его предстоящих значениях нет. Последний случай квалифицируется как неопределённость. Такая неопределённость может возникнуть, когда спрос (например, на сезонные товары) зависит от метеорологических условий (конфликт с природой) или в условиях рынка от деятельности конкурента, уже удовлетворившего неизвестную часть спроса. Приведённые примеры при определённых условиях могут быть приведены к игре.

Всякая теоретико-игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также, кто и в какой форме  заинтересован в том, или ином исходе конфликта.

Действующие в конфликте стороны  называются игроками, а решения, которые  способны принимать игроки, стратегии.

Содержание математической теории игр состоит, во-первых, в установлении принципов оптимального поведения  игроков в играх, во-вторых, в доказательстве существования ситуации, которые  складываются в результате применения этих принципов, и, в-третьих, в разработке методов фактического нахождения таких  ситуаций.

Для игр с одной коалицией  действия множество всех ситуаций можно  принять за множество стратегий  этой единственной коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать. По этому такие игры называются нестратегическими, важным классом которых являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределённых фактов окружающей среды, именуемых «природа». Поэтому термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых игроком действительно может выступить природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

В отличие от нестратегических игр, все остальные игры с двумя  или более коалициями действия называются стратегическими. В практических ситуациях  часто появляется необходимость  согласования действий компании, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В подобных ситуациях  теория стратегических игр позволяет  найти оптимальное решение для  поведения всех участников проекта, обязанных согласовывать свои действия при столкновении интересов.

Далее будут рассмотрены матричные  игры. Под матричной игрой  понимается такая игра двух игроков, при которой каждый игрок имеет конечное число возможных ходов – чистых стратегий. При этом выигрыш одного игрока и проигрыш другого при применении ими определённых чистых стратегий выражается числом. Перечисленные условия позволяют записать стратегии в матрицу

 

 (1.1)

где – равен выигрышу первого (будем обозначать его А) и проигрышу второго (игрока В) при применении ими i-й и j-й чистых стратегий соответственно.

Задачей теории игр является определение  оптимальных стратегий игроков. В матричной игре оптимальной  для игрока А называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает максимально возможный средний выигрыш, а для игрока В под оптимальной понимается стратегия, обеспечивающая ему минимальный средний проигрыш. При этом предполагается, что противник является по меньшей мере таким же разумным и делает всё для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

2.1.1. Платёжная матрица

Нижняя и верхняя цена игры

 

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А₁, А₂, …, А_m . Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, …, В_n. Говорят, что игра имеет размерность m×n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

А_i и В_j (i = 1, 2, …, m;  j = 1, 2, …, n)

однозначно  определяется исход игры, т.е. выигрыш а_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-а_ij) игрока В. Предположим, что значения а_ij известны для любой пары стратегий (А_i, B_j). Матрица Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А_i и В_j, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1

                                                                                                               Таблица 1

Bi             Аj	В1	В2	…	Вn
А1	а11	а12	…	а1n
А2	а21	а22	…	а2n
…	…	…	…	…
Аm	аm1	аm2	…	аmn

  
Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Рассмотрим игру  m×n  с матрицей  Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m;  j = 1, 2, … ,n и определим наилучшую среди стратегий А₁, А₂, …, А_m. Выбирая стратегию А_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий В_j, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится “навредить” игроку А).

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в   i-й строчке платёжной матрицы), т.е.

.

Среди всех  чисел  a_i  (i = 1, 2,   …,m)  выберем наибольшее: .

Назовём a нижней  ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это  гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

.

 

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим