Материалы по векторной алгебре

Найти объём тетраэдра  и длину высоты H, опущенной из вершины D на грань АВС.

Решение:

 

V(тетраэдра)=V(параллелелпипеда)

Найдём  смешанное произведение векторов:

={1;2;0};  ={0;2;2}; ={5;-2;6}®

(==12+20+4=36®V(параллелелпипеда)=36®

V(тетраэдра)=6куб.ед.

H=||||;  где площадь основания параллелепипеда равна:

||||

=    =4-2+2® ||||==2®

H==3

Ответ:V=6куб.ед; H=3 

Лекция 2. (для тех, кто  хочет знать больше)

§6.Понятие об «n» мерном пространстве Rⁿ.

П⁰1 Определение:

Обозначим Rⁿ множество, элементы которого (векторы), заданы в виде:

=(a₁;a₂;…;a_n)^Т   a_iÎR;  i=1;2;…;n

В эом множестве  введён нулевой элемент:

=(0;0;…;0)

В этом множестве введены  линейные операции.

1)Сложение:

Для любых векторов  =(a₁;a₂;…;a_n)^Т и =(b_1;b₂;…;b_n)^T ;ÎRⁿ однозначно определён вектор, называемый суммой векторов, по следующему правилу:

(a₁+b₁;a₂+b₂;…;a_n+b_n)^T

2)Умножение  вектора на скаляр.

Для любого вектора   (ÎRⁿ) и числа lÎR однозначно определён вектор, обозначаемый l, по правилу:

l=(la₁;la₂;…;la_n)^T

Свойства  сложения.

1. Свойство коммутативности.

Для любых векторов

2)Свойство  ассоциативности:

Для любых векторов

3)Свойство  нулевого вектора:

  для любого 

4)Существование  противоположного  вектора:

для любого  существует противоположный вектор, который обозначают -: 

5)Свойство  обратимости:

Для любых векторов существует вектор : .

Вектор  и обозначается:

(

Свойства  умножения вектора  на скаляр.

1) l*(*l

2) l(ll

3) 1

4) -1

5) 0

Пространство  Rⁿ в этом случае называют линейным пространством, а его элементы векторами. 

П⁰2. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Определение:

Система векторов     называется линейно зависимой, если найдутся числа: l₁; l₂;…;l_n (не все равные нулю):

l₁+l₂+…+l_n=l= (линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что не все числа l_i  равны нулю).

Если l= тогда и только тогда, когда все числа l_i=0, i=1,2,…,n, то система векторов     называется линейно независимой.

Критерий  линейной независимости.

;;…; 
 

Рассмотрим  матрицу , составленную из координат этих векторов: 

A= 
 

По  определению линейной независимости можно составить матричное уравнение:

A_m×n*L_n×1=O_m×1; где  L=lll- это однородная система, которая имеет единственное нулевое решение , если ранг матрицы А равен числу неизвестных, т.е. r(A)=n.

Система векторов ;;…;

линейно независима « r(A)=n

Замечание:

Если  m=n, то однородная система имеет единственное нулевое решение по теореме Крамера, если det A≠0.

Пример 1.

Даны  три вектора ÎR⁴.

Определить  лнейную зависимость  или независимость  векторов.

=; =; =. 

Составим  матрицу координат  и определим её ранг, приведя её к ступенчатому виду.

А=~       ~

r(A)=2; n=3®r(A)≠n®система имеет ненулевые решения, т. е. система векторов линейно зависима

Пример 2.

Такой пример будет в  тесте! 

. Даны три вектора ÎR³ .

Определить  лнейную зависимость  или независимость  векторов. 

=;  =;  . 

  определитель матрицы  координат: 

=0+4+15-(0-20+1)=38≠0® система векторов линейно независима. 

П⁰4.Базис в пространстве Rⁿ. Разложение вектора в этом базисе.

Определение:

Размерность линейного векторного пространства обозначается

dim Rⁿ. (Размерность равна «n», что определяет число координат в задании вектора).

Определение:

Система векторов называется базисом, если выполнены два условия: 1)вектора линейно независимы, 2) dim Rⁿ=n 

Предложение:

Любой вектор ÎRⁿ однозначно может быть разложен в этом базисе, т.е. представляется линейной комбинацией базисных векторов: 

Числа x₁;x₂;…;x_n называют координатами вектора в этом базисе. 

Для нахождения координат  вектора в заданном базисе необходимо решить систему: 
 

Пример 3.

Используя результат примера 2, разложить вектор в этом базисе.

= 

  (проверьте все  координаты базисных  векторов) 

Составим расширенную  матрицу системы  и приведём её к  ступенчатому виду.

=~~ 

r(=r(A)=3;  n=3®система имеет единственное решение.

Восстановим систему по ступенчатой  матрице.

«

:  

=1*-2* 
 

 

П⁰4. Скалярное произведение в пространстве Rⁿ.

Определение:

Скалярным произведением векторов =(a₁;a₂;…;a_n)^Т и =(b_1;b₂;…;b_n)^T ;ÎRⁿ называется число, полученное по формуле:

(=a₁*b₁+a₂*b₂+…+a_nb_n

Свойства  скалярного произведения.

1. (
2. (ll
3. (
4. (³

Длина вектора определяется по формуле:

||||=

Замечание.

Линейное  пространство называется евклидовым, если введено  скалярное произведение. Таким образом, пространство Rⁿ является евклидовым «n» мерным векторным пространством.

Неравенство Коши-Буняковского.

Модуль  скалярного произведения двух векторов  не превышает произведения их длин.

|(|||||||||

Следствие:

||||||||||≤ 1

   |||||||| =®