Материалы по векторной алгебре

 
 

 

 

Лекция 5. Глава 2. Элементы векторной  алгебры.

§1.Множество  векторов. Линейные операции над векторами.

П⁰1.Определение вектора .Основные понятия.

Определение:

Вектором  называется упорядоченная  пара точек.  =, где А – точка начала, В—точка конца.

Геометрическая  интерпретация:   вектор – это направленный отрезок.

Основные  характеристики вектора:

1. скалярная характеристика- длина вектора, которую будем обозначать : ||||=||||;
2. направление

Для того чтобы задать вектор, достаточно знать:

1) длину и направление

или

2)координаты точки начала и конца

Определение равенства  векторов:

Два вектора равны «

1)|||||||| (длины векторов равны)

2) вектора сонаправлены ()

Определение нулевого вектора.

=         ||||

Определение коллинеарных векторов.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых (можно сказать, что они параллельны).

Обозначение: || 
 

Различают:  сонаправленные вектора, т. е. имеющие одно направление и противоположно направленные.

 
 
 
 

П⁰2 .Сложение векторов.

Определение:

Суммой  векторов , обозначаемый  , который можно получить по правилу треугольника:

сначала строим вектор построенного вектора строим вектор огда вектор суммы соединяет начало первого вектора с концом вектора  
 
 

 
 

     Замечание:

     1.Можно получить другое правило сложения в случае неколлинеарных векторов.

     Правило параллелограмма: 

     Из  одной точки строим два данных вектора и достраиваем до параллелограмма.

       Тогда диагональ  этого параллелограмма, исходящая

     из  общей вершины , и  будет вектором суммы  данных векторов. 

     

     

       
 
 

      2.Правило суммы можно распространить на любое число слагаемых (правило ломаной).

Для получения суммы  нескольких векторов нужно каждый следующий  вектор начинать строить  из конца предыдущего, а результирующий вектор будет соединять  начало первого вектора  с концом последнего.

 
 
 
 
 

 

     Свойства  сложения:

1. Свойство коммутативности.

Для любых векторов

2)Свойство  ассоциативности:

Для любых векторов

3)Свойство  нулевого вектора:

  для любого 

4)Существование  противоположного  вектора:

для любого  существует противоположный вектор, который обозначают -: 

(Легко проверить,  что ||||||||   -

5)Свойство обратимости:

Для любых векторов существует вектор : .

Вектор  и обозначается:

Чтобы получить вектор разности векторов нужно построить оба вектора из одной точки и соединить концы векторов в сторону уменьшаемого вектора. 
 
 
 
 
 

 

 

П⁰3.Умножение вектора на скаляр.

Определение:

Для любого вектора  и числа lÎR однозначно определён вектор, обозначаемый    l по следующему правилу:

1)|| l|||l|*||||

2)пусть l=, тогда: при l>0 ®

при l< 0®

при l=0®

Свойства  умножения вектора  на скаляр.

1) l*(*l

2) l(ll

3) 1

4) -1

5) 0

П⁰4. Векторная и скалярная проекция вектора на ось.

Пусть дана ось L и вектор Спроектируем начало и конец данного вектора на ось, т. е. опустим перпендикуляры. На оси L получим векторную проекцию данного вектора, начало и конец которого являются соответствующими проекциями начала и конца данного вектора.

 
 
 

Если точка А  –начало вектора  , то А₁=Пр_LА.

Если  точка В –конец вектора , то В₁=Пр_LВ.

- векторная проекция  вектора   на ось L (компонента вектора)

Орт оси - это единичный вектор , который сонаправлен c осью L:

 :  ||||

Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)

Для того чтобы два  вектора  были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы существовало число l, такое что справедливо равенство:    l.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть вектора коллинеарны  ||.

1) вектора сонаправлены;  пусть число l=|||||||| ®l®

;  ||||||||||||*||||=||||®

2) вектора противоположно направлены;l=- |||||||| l®

; ||||||||||||*||||=||||®

(необходимость  доказана)

Достаточность: 

Если l, то по определению операции умножения вектора на скаляр ® вектора коллинеарны || (достаточность выполнена)®

теорема доказана.

Важная  информация.

Пусть дан вектор . Обозначим единичный вектор или орт вектора

||||=1;      .

На  основании предыдущей теоремы имеем  формулу для нахождения орта данного вектора:

=||||

Вернёмся  к векторной проекции вектора на ось.

Пусть -векторная проекция  на ось L;

  орт оси; т.к. ||L, то существует число х:

=х(*)

Определение:

Число х, определяемое равенством (*) называется скалярной проекцией вектора на ось L.

Замечание: 

х=|||||||| 
 

 Теоремы о проекциях.

1.||||Пр_L 

2.Пр_L(Пр_LПр_L 

3.Пр_Ll=lПр_L  
 

§2. Геометрическое пространство векторов.

П⁰1. Линейная зависимость и независимость векторов.