Математические модели в управлении

Разработкой научных методов решения организационно-управленческих задач занимается молодая научная дисциплина, получившая название исследование операций. В этой научной дисциплине под операцией понимается некоторое организационное мероприятие, проведение которого преследует определенную четко сформулированную цель, например регламентацию хранимых на складе запасов. Должны быть заданы условия, характеризующие обстановку проведения мероприятия, в частности, потребности о запасах и ограничения на складские помещения в рассмотренном примере. Целью исследования операций является нахождение и научное обоснование таких способов проведения мероприятия, которые в некотором смысле являются наиболее выгодными.

Специфическая особенность задач организационно-управленческого  типа состоит в том, что последствия того или иного способа их решения могут существенно отразиться на работе всего предприятия. Поэтому принятие окончательного решений всегда относится к компетенции ответственного лица, администратора, наделенного соответствующими правами, и выходит за рамки исследования операций. Исследование операций преследует лишь цель дать в руки администратору обоснованные рекомендации по принятию решения.

Таким образом, исследование операций представляет собой научное направление, целью которого являются разработка методов анализа целенаправленных действий (операций) и объективная сравнительная оценка возможных решений. Хотя исследование операций представляет собой самостоятельное научное направление, возникшее в годы второй мировой войны при решении задач ПВО в Англии (т. е. исторически раньше появления кибернетики) однако при решении отдельных задач оно широко применяет методы кибернетики.

2. Оптимизация процесса  управления.

а) Критерий качества управления

Задачу  управления мы будем в дальнейшем рассматривать как математическую задачу. Однако в отличие от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допускает не одно решение, а множество различных решений [Л. 42]. Это связано с тем, что в задачах управления имеется, как правило, много способов организации какого-либо процесса, которые приводят к достижению поставленной цели. Так, в процессе погони за зайцем собака может по-разному организовать характер своего движения, при запуске ракеты на Луну можно выбирать различные траектории для полета ракеты и т. п. Поэтому задачу управления можно было бы ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставленной цели. Однако такая постановка вопроса обычно бывает недостаточна.

Если  имеется множество решений какой-либо задачи, то возникает добавочная задача — выбрать из этого множества решений такое, которое с какой-либо точки зрения является наилучшим. Можно привести много примеров таких задач. Так, имеется много способов для склеивания коробки из листа картона заданных размеров. Добавочной задачей можно считать задачу получения коробки максимальной вместимости. Из одного города в другой можно проехать, пользуясь различными видами транспорта: железнодорожным, воздушным, водным, автобусным, автомобильным. Добавочной задачей можно считать выбор, наиболее выгодного вида транспорта с точки зрения времени проезда, стоимости, удобства, привычек и т. п. Аналогичное положение имеет место я в задачах управления.

В тех  случаях, когда цель управления может  быть достигнута несколькими различными способами, па способ управления можно наложить добавочные требования, степень выполнения которых может служить основанием для предпочтения одного способа управления всем другим.

Во многих случаях реализация процесса управления требует затраты каких-либо ресурсов: затрат времени, расхода материалов, топлива, электроэнергии. Следовательно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, достигается ли поставленная цель, но и о том, какие ресурсы придется затратить для достижения этой цели. В этом случае задача управления состоит в том, чтобы из множества решений, обеспечивающих достижение цели, выбрать одно решение, которое требует наименьшей затраты ресурсов.

В других случаях основанием для предпочтения одного способа управления другому могут служить иные требования, накладываемые на систему управления: стоимость обслуживания, надежность, степень близости получаемого состояния системы к требуемому, степень достоверности знаний о состоянии природы и т. п.

Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называется критерием качества управления. Наиболее предпочтительным или оптимальным способом управления будет такой, при котором критерий качества управления достигает минимального (иногда максимального) значения.

При выборе, например, режима полета за критерий качества управления можно принять или выражение для количества топлива, расходуемого на единицу пути, или путь, проходимый за счет единицы топлива. Наиболее экономичному, т. е. оптимальному, режиму будет соответствовать или минимальное (в первом случае), или максимальное (во втором случае) значение критерия качества управления.

Приведенное определение оптимального управления будем рассматривать как предварительное. Более строгое определение будет дано после рассмотрения ограничений, налагаемых на процесс управления.

б) Ограничения, накладываемые  на процесс управления

Задачу  нахождения оптимального управления или  управления вообще следует считать не существующей, т. е. не вызывающей никаких проблем, если на характер движения системы не наложено никаких ограничений. Так, проблемы погони за зайцем вообще не существовало бы, если бы собака могла мгновенно преодолеть расстояние, отделяющее ее от зайца. Следовательно, при решении задачи управления нельзя не считаться с тем обстоятельством, что движение любой системы всегда подвержено различного рода ограничениям.

Для более  ясного представления о встречающихся  ограничениях рассмотрим конкретный пример управления автомобилем. Осуществляя процесс управления, водитель должен считаться с тем, что автомобиль имеет ограниченную мощность двигателя, а значит, может вести лишь ограниченный груз с ограниченной предельной скоростью. Благодаря инерционности скорость автомобиля и направление движения могут изменяться лишь с ограниченным по величине ускорением. Это означает невозможность мгновенной остановки или мгновенного изменения направления движения в случае возникновения непредвиденной опасной ситуации и в свою очередь ограничивает скорость движения. При выборе маршрута водитель вынужден считаться с ограниченным запасом горючего в баке и необходимостью пополнения этого запаса в пути и т.п.

В общем  случае имеется два вида ограничений  на выбор способа управления. Ограничениями первого вида являются сами законы природы, в соответствии с - которыми происходит движение управляемой системы. При математической формулировке задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими, дифференциальными или разностными уравнениями объекта управления и их часто называют уравнениями связи. Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, используемых при управлении, или иных величин, которые в силу физических особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов. Математически ограничения этого вида выражаются обычно в виде систем алгебраических уравнений или неравенств, связывающих переменные, описывающие состояние системы.

в) Постановка задачи оптимального управления

Задачу  управления можно считать сформулированной математически, если:

• сформулирована цель управления, выраженная через критерий качества управления;
• определены ограничения первого вида, представляющие собой систему дифференциальных или разностных уравнений, ограничивающих возможные способы движения системы;
• определены ограничения второго вида, представляющие собой систему алгебраических уравнений или неравенств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин, используемых при управлении.

Способ  управления, который удовлетворяет  всем поставленным ограничениям и обращает в минимум (максимум) критерий качества управления, называется оптимальным управлением.

3. Математическое описание  объекта управления.

а) Структура объекта управления

Ту физическую систему, процессами в которой мы управляем, будем называть объектом управления. Объекты управления могут быть весьма разнообразны и иметь самую различную физическую природу. Это могут быть:

• технические устройства: автомобиль, самолет, ракета, токарный станок, технологический процесс и т. п.;
• производственные предприятия: отдел, цех, завод, отрасль промышленности;
• экономические системы: экономика предприятия, экономика отрасли промышленности, экономика государства;
• биологические системы; социальные системы и т. д.

То обстоятельство, что закономерности, которым подчиняются  процессы управления, являются общими для объектов управления любой физической природы, позволяет рассмотреть общую структуру и дать общее математическое описание процесса управления.

Обозначим через  переменную, определяющую состояние объекта управления. Иногда она является одномерной или скалярной величиной. Это могут быть угол поворота вала двигателя, скорость самолета или ракеты, давление пара в котле паровой машины, количество предметов на складе, количество самолетов, базирующееся на аэродроме, и т. п.

Однако  в большинстве случаев для  описания объекта управления требуется не одна, а несколько переменных . При описании механических систем величины представляют собой координаты или скорости движущихся частей. Например, в электрических системах величины будут токами или напряжениями; в экономике это могут быть производственные мощности или ресурсы отдельных отраслей промышленности;

Во всех рассмотренных случаях состояние  объекта управления будет описываться многомерной, т. е. векторной переменной , компонентами которой будут величины

Переменную  будем далее называть переменной или вектором состояния объекта управления.

Величины  могут изменяться непрерывно в некотором диапазоне значений или принимать конечное множество значений. В последнем случае величина будет также принимать конечное множество значений и ее -е значение будем обозначать через .

Тогда множество  будет представлять собой пространство возможных состояний объекта управления. Иногда пространство будем называть пространством решений, подчеркивая тем самым, что выбор некоторого представляет собой возможное решение задачи управления.

Если  величины могут изменяться непрерывно, т. е. принимают бесконечное множество значений, то пространство возможных состояний системы будет бесконечным множеством. Однако и в этом случае значения обычно не могут быть какими угодно. На них могут накладываться ограничения.

Часто некоторые или все переменные удовлетворяют условию неотрицательности , что оказывается весьма удобным при численном решении уравнений, описывающих процесс управления. Кроме того, во многих задачах, например, экономических, величины не могут быть отрицательными по своему физическому смыслу (затраты, выпуск продукции, объемы перевозимых товаров, размещенные различным образом суммы денег и т. п.).

Состояние объекта управления может зависеть от множества неконтролируемых или не полностью контролируемых факторов, определяемых совокупностью внешних условий, в которых находится объект управления.

Летчик, например, может регулировать режим самолета путем изменения высоты и скорости полета, которые являются в данном случае контролируемыми параметрами. Однако на расход топлива в значительной степени влияют внешние атмосферные условия, которые летчик может лишь частично принимать во внимание, но на которые он не может активно воздействовать и даже точно их предвидеть.

То есть для того, чтобы создать модель управления процессом, необходимо собрать данные об этом процессе, интересующие нас, привести их к общему виду, и только после этого они будут готовы к созданию модели.