Математические методы и модели в экономике

Составить математическую модель задачи, решит ее симплекс-методом и графически.

       

Обозначим через  - количество изделий А, через - количество изделий В запланированных к выпуску. Тогда - количество сырья первого вида, необходимого для изготовления изделий А, - количество сырья первого вида, необходимого для изготовления изделий B. Поскольку общее количество используемого сырья первого вида не должно превышать 801 кг, получаем первое ограничение на переменные и :

.

Аналогично записываются ограничения по сырью второго и третьего видов. Учитывая, что прибыль от реализации  изделия А составляет руб., а от реализации  изделия В - руб., получаем целевую функцию . Запишем математическую модель задачи.

 

Приведём задачу к каноническому  виду

   

 

Поскольку имеется первое неотрицательное  базисное решение (НБР) , задачу можно решить симплекс-методом. Заполняем первую симплекс-таблицы. Во втором столбце записываем вектор координатами которой, являются коэффициенты при базисных переменных в целевой функции. Над переменными в первой строке таблицы выписываются соответствующие коэффициенты целевой функции. В последней оценочной строке таблицы записываем.

 где  - вектор-столбец коэффициентов в системе ограничений при :

 

 

Б.П.	С	В	3	2	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5
x3	0	801	9	4	1	0	0
x4	0	807	6	7	0	1	0
x5	0	768	3	8	0	0	1
F		0	-3	-2	0	0	0

 

Приступаем к решению задачи симплекс-методом. Из всех отрицательных  оценок

 выбираем наибольшую по  абсолютной величине:

Поскольку в первом столбце есть , тол допустимый план задачи можно улучшить. Так как, ,  то в качестве генерального элемента выбираем . Произведем гауссовы преобразования над всеми строками таблицы, включая оценочную строку:

 

Б.П.	С	В	3	2	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5
x3	0	801	9	4	1	0	0
x1	3	89	1	0,444444	0,111111	0	0
x4	0	807	6	7	0	1	0
		-534	-6	-2,66667	-0,66667	0	0
x5	0	768	3	8	0	0	1
		-267	-3	-1,33333	-0,33333	0	0
F		0	-3	-2	0	0	0
		267	3	1,333333	0,333333	0	0

 

Строка с базисом x1 оставляем неизменно и слагая остальные соответствующий строк получим:

 

Б.П.	С	В	3	2	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5
x1	3	89	1	0,444444	0,111111	0	0
x4	0	273	0	4,333333	-0,66667	1	0
x5	0	501	0	6,666667	-0,33333	0	1
F		267	0	-0,66667	0,333333	0	0

 

Так как  и , допустимый план можно улучшить:

. В качестве генерального  элемента берем 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б.П.	С	В	3	2	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5
x1	3	89	1	0,444444	0,111111	0	0
		-28	0	-0,44444	0,068376	-0,10256	0
x4	0	273	0	4,333333	-0,66667	1	0
x2	2	63	0	1	-0,15385	0,230769	0
x5	0	501	0	6,666667	-0,33333	0	1
		-420	0	-6,66667	1,025641	-1,53846	0
F		267	0	-0,66667	0,333333	0	0
		42	0	0,666667	-0,10256	0,153846	0

 

Или

Б.П.	С	В	3	2	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5
x1	3	61	1	0	0,179487	-0,10256	0
x2	2	63	0	1	-0,15385	0,230769	0
x5	0	81	0	0	0,692308	-1,53846	1
F		309	0	0	0,230769	0,153846	0

 

Все оценки . Следовательно, найденное решение оптимально.

Ответ: ,  при этом прибыль .

Приведем  графическое решение данной задачи. Для этого построим область решений  системы ограничений

Область решения системы ограничений треугольником АВС, вектор градиент целевой функции и линя уровня точка С является точкой пересечения первой (1) и второй (2) прямых. Для определения ее координаты решаем систему уравнений

 

Таким образом,  С(61;63) и  .

 

№43. Задача о планировании производства.

Производственному участку может  быть запланировано к изготовлению на определенный плановый период времени  два вида изделий:  А и В. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется  часов, оборудование второго типа используется часов. На производство единицы изделия В оборудование первого типа используется  часов, оборудование второго типа используется часов.

Фонд полезного времени первого  типа оборудования составляет - часов, второго типа оборудования часов. Отпускная цена единицы изделия А составляет руб. , а изделия В - руб.

 Спланировать выпуск изделий  А и В при условии, что  план должен быть выполнен  в стоимостном выражении на  сумму не менее  руб.. и оборудование первого типа должно быт загружено минимально.

Решит задачу графически и симплексным  методом.

Решение.

Пусть - количество изделий А, - количество изделий В, планируемых к выпуску. Тогда на производство изделий А и на производство изделий B оборудования первого типа используется  и часов соответственно. Учитывая фонд полезного времени этого оборудования 220, получаем одно ограничение на переменные и : . Аналогично записывается второе ограничение. На производство изделий А и на производство изделий B оборудования второго типа используется  и часов соответственно. Так как фонд полезного времени второго оборудования равна 240, то можно записать . Общая стоимость изделий А составляет руб., а изделия В - руб., следовательно, стоимостное выражение плана должно быть не менее 300 руб. : . Так как по условии задачи оборудование первого типа должно быт загружено минимально и его используется в количестве часов, то целевая функция имеет вид:

Составим математическую модель задачи.

 

Приведем задачу к каноническому виду:

 

В третьем уравнении отсутствует  базисная переменная, принимающая положительное  значение. Решим задачу симплекс-методом  с искусственным базисом. Искусственную  переменную достаточно ввести в третье уравнение. Составим М-задачу:

Заполняем симплекс-таблицу с двумя  оценочными строками. Для вычисления оценок используются формулы  . В первую оценочную строку заносится свободные члены, во вторую – коэффициенты при М в выше указанных формулах.

 

Б.П.	С	В	-1	-3	0	0	0	-M
			x1	x2	x3	x4	x5	z
x3	0	220	1	3	1	0	0	0
x4	0	240	4	2	0	1	0	0
z	- M	300	4	5	0	0	-1	1
F1		0	1	3	0	0	0	0
f		-300	-4	-5	0	0	1	0

 

При подборе генеральной столбца  руководимся последней строкой:

Так как  , а , то -генеральный элемент. Произведем гауссовы преобразования над всеми строками таблицы

 

Б.П.	С	В	-1	-3	0	0	0	-M
			x1	x2	x3	x4	x5	z
x3	0	220	1	3	1	0	0	0
		-180	-2,4	-3	0	0	0,6	-0,6
x4	0	240	4	2	0	1	0	0
		-120	-1,6	-2	0	0	0,4	-0,4
z	- M	300	4	5	0	0	-1	1
x2	-3	60	0,8	1	0	0	-0,2	0,2
F1		0	1	3	0	0	0	0
		-180	-2,4	-3	0	0	0,6	-0,6
f		-300	-4	-5	0	0	1	0
		300	4	5	0	0	-1	1