Математические методы и модели в экономике

ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «»

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н  А Я     Р А Б О Т  А

 

По предмету:  Математические методы и модели в экономике

На тему: __________________________________________________

Вариант №  3

 

 

 

Выполнил:

Студент 2 курса ()

_______  4 семестр

Ф.И.О. 

 

 

 

Ташкент-2009

№3. Пользуясь методом Жордано-Гаусса, решить систему линейных уравнений.

 

 

Решение. Все результаты вычислений заносим в таблицы, первый столбец которых отводится для записи базисных переменных, во второй столбец записываем свободные члены уравнений, в остальные – коэффициенты при переменных соответствующих уравнениях.

БП	В	х1	х2	х3	х4
	30	8	-1	-1	3
	1	5	-5	-1	-2
	51	10	3	0	2
	19	3	2	0	1

В качестве генерального элемента выбираем и в первом строке в первом столбце записываем название базисной переменной . Все элементы генеральной строки делим на генеральный элемент и результат деления записываем в той же строке. Число полученные в результате деления, умножаем поочередно на элементы генерального столбца с противоположными знаками и произведения записываем в соответствующие клетках

БП	В	х1	х2	х3	х4
	30	8	-1	-1	3
x1	3,75	1	-0,125	-0,125	0,375
	1	5	-5	-1	-2
	-18,75	-5	0,625	0,625	-1,875
	51	10	3	0	2
	-37,5	-10	1,25	1,25	-3,75
	19	3	2	0	1
	-11,25	-3	0,375	0,375	-1,125

 

Переходим к следующей таблице: без изменения переносим элементы генеральной строки, полученные в  результате деления на генерального элемента; во всех остальных клетках  находим суммы и заносим их в соответствующие клетки новой таблицы

 

БП	В	х1	х2	х3	х4
x1	3,75	1	-0,125	-0,125	0,375
	-17,75	0	-4,375	-0,375	-3,875
	13,5	0	4,25	1,25	-1,75
	7,75	0	2,375	0,375	-0,125

 

 

Продолжаем решение системы. В  качестве генерального элемента выбираем . Все дальнейшие действия видны из таблиц.

БП	В	х1	х2	х3	х4
x1	3,75	1	-0,125	-0,125	0,375
	0,507143	0	0,125	0,010714	0,110714
	-17,75	0	-4,375	-0,375	-3,875
x2	4,057143	0	1	0,085714	0,885714
	13,5	0	4,25	1,25	-1,75
	-17,2429	0	-4,25	-0,36429	-3,76429
	7,75	0	2,375	0,375	-0,125
	-9,63571	0	-2,375	-0,20357	-2,10357

 

БП	В	х1	х2	х3	х4
x1	4,257143	1	0	-0,11429	0,485714
x2	4,057143	0	1	0,085714	0,885714
	-3,74286	0	0	0,885714	-5,51429
	-1,88571	0	0	0,171429	-2,22857

 

БП	В	х1	х2	х3	х4
x1	4,257143	1	0	-0,11429	0,485714
	-0,48295	0	0	0,114286	-0,71152
x2	4,057143	0	1	0,085714	0,885714
	0,362212	0	0	-0,08571	0,533641
	-3,74286	0	0	0,885714	-5,51429
x3	-4,22581	0	0	1	-6,22581
	-1,88571	0	0	0,171429	-2,22857
	0,724424	0	0	-0,17143	1,067281

 

БП	В	х1	х2	х3	х4
х1	3,774194	1	0	0	-0,22581
x2	4,419355	0	1	0	1,419355
x3	-4,22581	0	0	1	-6,22581
	-1,16129	0	0	0	-1,16129

 

БП	В	х1	х2	х3	х4
х1	3,774194	1	0	0	-0,22581
	0,225806	0	0	0	0,225806
x2	4,419355	0	1	0	1,419355
	-1,41935	0	0	0	-1,41935
x3	-4,22581	0	0	1	-6,22581
	6,225806	0	0	0	6,225806
	-1,16129	0	0	0	-1,16129
x4	1	0	0	0	1

 

 

 

БП	В	х1	х2	х3	х4
х1	4	1	0	0	0
x2	3	0	1	0	0
x3	2	0	0	1	0
x4	1	0	0	0	1

 

Данная система  имеет единственное решение

 

 

 

№13.Построит на плоскости область решений системы линейных неравенств

и геометрически  найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции  в этой области.

Решение. 1. Строим прямую границу области решений неравенства . Она делит плоскость на две полуплоскости. Точка (0,0)  удовлетворяет неравенству, следовательно, решением неравенства является множества всех точек полуплоскости, содержащей начало координат.

Аналогично решаем графически остальные неравенства. Общая часть всех полуплоскостей – решений,  в нашем случае АВС, является областью решений системы линейных неравенств.

 

2. Строим вектор градиент целевой  функции  :

(координаты вектора-градиента – частные производные функции).

3. Проводим линию линейной функции  перпендикулярно вектору-градиенту.  Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором .  Для определения точки, соответствующей минимальному значению функции, сдвигаем линию уровню параллельно самой себе в противоположному направлении, указанном вектором

Вычислим координаты точек С и A, решая соответствующие системы уравнений.

Точка C пересечение линии 2 и 3:

 

Таким образом,  C(14;9) и

Точка A пересечение линии 1 и 3:

Таким образом, и

 

№23 Данную задачу линейного программирования привести к каноническому виду и составить для нее двойственную во всех задачах .

 

Для перехода от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям из левой части первого неравенства вычитаем неотрицательную переменную , к левой части второго неравенства прибавляем неотрицательную переменную , Тогда получим кононическую форму записи исходной задачи:

 

Запишем задачу, двойственную канонической:

y₃ имеет произвольный знак.

 

№33. Задача о рентабельности производства.

Для изготовления различных изделий  А и В используется три вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затрать сырья первого вида - кг, сырья второго вида - кг, сырья третьего вида - кг, сырья второго вида. На производство единицы изделия В требуется затрать сырья первого вида - кг, сырья второго вида - кг, сырья третьего вида - кг.

Производство обеспечено сырьем первого  вида - кг, сырья второго вида - кг, сырья третьего вида - кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет руб. , а изделия В - руб.

 Спланировать производство  изделий А и В, обеспечивающее  максимальную прибыль от их реализации.