Магические квадраты

          Латинским  квадратом называется квадрат  nxn  клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата 4x4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

Задачу отыскания ортогональных  латинских квадратов впервые  поставил Л. Эйлер, причём в такой  занимательной формулировке: “ Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов  и гренадеров и кроме того поровну  генералов, полковников,   майоров,   капитанов,    поручиков   и   подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6х6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”

           Эйлер  не смог найти решения этой  задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6x6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости  гипотезы  Эйлера.  Однако  в 1959 г. помощью  ЭВМ  были  найдены  сначала  ортогональные квадраты 10x10, потом 14x14, 18x18, 22x22. А затем было показано, что для любого n, кроме 6, существуют ортогональные квадраты nxn.

          Магические  и латинские квадраты – близкие  родственники. Пусть мы имеем  два ортогональных квадрата. Заполним  клетки нового квадрата тех  же размеров следующим образом.  Поставим туда число n(a – 1)+b, где а - число в такой клетке  первого квадрата, а  b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

           В  настоящем реферате рассмотрены  вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

          Ближайшие  родственники магических квадратов  – латинские квадраты нашли  многочисленные применения, как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов.

          В реферате  также рассмотрен вопрос о  квадрате Пифагора, представляющем  исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического  портрета личности.

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энциклопедический словарь  юного математика. М., «Педагогика», 1989г. 

2. М. Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

3. Физкультура и спорт  № 10, 1998г.

……….а также при помощи открытых источников сети Интернет