Линейная функция в механике

МОУ «Гуманитарная гимназия №8»

 

 

 

 

 

 

 

Линейная функция в  механике

 

 

 

 

Реферат по алгебре

ученика 7 класса А  
Семакова Кирилла Олеговича

 

 

Руководитель 

Кувардина Ольга Геннадьевна

учитель математики

первой квалификационной категории

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Северодвинск

2009

 

 Оглавление

 

Введение  

Основная часть 

Глава 1 Линейная функция и ее свойства 

Глава 2 Линейная функция в механике. 

Заключение 

Литература 

 

 

Введение

 

Функция – это одно из основных математических и общенаучных  понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и так далее – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства, и что особенно важно взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности количественные соотношения, и математика изучает их в свойстве чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде изучает различные законы и их взаимодействия, которые на математическом языке называют  функциональными зависимостями, или функциями. Линейная функция простейшая и, можно сказать важнейшая функция.

Линейная функция и  ее свойства являются весьма существенным звеном при изучении курса математики. Многие физические законы, пространственно-временные формы жизни и их количественные отношения выражаются с помощью линейной функции, поэтому исследование данного вопроса является весьма актуальным.

Цель проведенной нами работы исследовать линейную функцию  и ее свойства, убедиться в существовании  линейной зависимости между некоторыми объектами механики: перемещения от времени, действующей силы от удлинения пружины, силой трения и весом тела.

Для достижения поставленной в работе цели нами решались следующие  задачи:

изучить понятие функции  и ее общих характеристик;

ввести понятие линейной функции  и ее свойств;

экспериментально убедиться  в существовании линейной зависимости  между некоторыми объектами механики.

Объектом нашего исследования является линейная функция, ее свойства, зависимость между перемещения от времени, действующей силы от удлинения пружины, силой трения и весом тела. В работе использовались следующие методы исследования аналитический, сравнительный, обобщения, эксперимент, изучение публикаций по данному вопросу.

Из энциклопедии Савина А.П. «Юный математик» мы узнали о линейной функции. А в справочнике Сходского А.Г. «Справочник школьника» нам рассказывается о свойствах линейной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основная часть

 

Глава 1 Общие свойства функции

 Понятие «функция»  претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692г. у Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу швейцарский ученый Берноулли  Иоганн (1667-1748). В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречаются уже в учебниках математики начала 19 века.

Рассмотрим определение функции, способы ее задания и некоторые ее свойства.

 

Числовой функцией с  областью определения D называют соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от х. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х, обозначают f(x) и используют запись y=f(x).

Способы задания функции.

Аналитический способ, то есть с помощью формулы. Такой  способ задачи функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах

Табличный способ. Часто  используется в математике: таблицы  квадратов и кубов чисел, таблицы  логарифмов. 

Графический способ.

Свойства функции.

Функция y=f(x) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

f(-x)=f(x)

Функция y=g(x) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

g(-x)=-g(x)

«Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей  в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.» [1 стр.176]

Рассмотрим линейную функцию и ее свойства. 

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа.

Свойства функции.

Область определения  – вся числовая прямая;

Функция не является ни четной, ни нечетной;

при k>0 функция возрастает, а при k<0 – убывает.

Графиком линейной функции  является прямая, составляющая с положительным  лучом оси х  угол А и проходящая через точку (0;b) на оси ординат. При k>0этот график изображен на рис.1, а при k<0 – на рис.2

Характеристическое свойство функции. Рассмотрим два значения аргумента  х¹ и х² им соответствует значение линейной функции y=ax+b¹ и y=ax+b². Изменение аргумента на величину х²-х¹ вызывает изменение функции на величину у²-у¹=а(х²-х¹), при этом отношение изменения функции к изменению аргумента равно а:

у²-у¹  =а

х²-х¹

Таким образом, у линейной функции изменение функции пропорционально  изменению аргумента, и это есть характеристическое свойство линейной функции. Поэтому с помощью линейной функции описывают пропорциональные зависимости.

Например. Температура  Т кипения воды и атмосферное  давление р связаны функциональной зависимостью, ибо каждому значению Т  соответствует одно определенное р и обратно. Так, если Т=100 (градусов по Цельсию), то р непременно равно 760мм ртутного столба; если Т=70(градусов по Цельсию), то р=234мм и так далее.

Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью  называется функция, которую можно  задать формулой вида y=kx, где х- независимая переменная, k – не равное нулю число.

Свойства функции y=kx

Область определения  – вся числовая прямая;

Функция нечетная

При k>0 функция возрастает, а при k<0 – убывает.

После проведенных наблюдений мы сделали  вывод, что линейная функция самая  простая, но и самая важная. Она  обладает многими простыми свойствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2 Линейная функция в механике

 

Линейная функция простейшая и, можно сказать, важнейшая среди  всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции. «Например, по закону Роберта Гука(1635-1703) при небольших удлинениях (и только при них) сила упругости F пропорциональна величине х – удлинению пружины: F= -kx. Другой, например, закон Ома Георга Симона (1787-1854): напряжение-U линейно зависит от силы тока-J, именно U=RJ (здесь R-сопротивление), однако этот закон также справедлив при не очень больших изменениях силы тока» [2 стр.352].

Рассмотрим существование  линейной зависимости между некоторыми объектами механики.

2.1 Перемещение при  прямолинейном равномерном движении.

Равномерным движением  называют такое движение, при котором  тело за любые равные промежутки времени проходит соответственно равные расстояния. Для характеристики геометрических свойств движения введем такие понятия, как «траектория, система отсчета» и такие величины, как «путь, перемещение»

Перемещение S- величина векторная, а промежуток времени t- величина скалярная, то скорость  движения v- величина векторная. Ее направление на данном участке движения совпадает с направлением перемещения.

t- время передвижения

v-скорость передвижения

Формула скорости v=S/t

Из формулы  скорости следует, что перемещение тела при равномерном движении находится по формуле: s=vt

Формулу движения называют уравнением движения. Полученная формула- уравнение прямолинейного равномерного движения.

2.2. Эксперимент. Зависимость  перемещения от времени при  постоянной скорости.

Цель: Определить вид зависимости перемещения от времени при прямолинейном равномерном движении.

Оборудование: секундомер, рулетка, планшетка.

Ход эксперимента: мы идем по тротуару с одной скоростью. Через  каждые пять секунд помощник отмечает какое расстояние мы прошли. Пройдя так пять метров, у нас получилась таблица в которой отражены результаты эксперимента.

Результат:

Время (с)	5	10	15	20	25	30	35	40	45
Расстояние (м)	5.2	10.2	15	19.6	24.3	29	33.6	38.2	44.6

 

Вывод: Как показано на графике перемещение тела линейно (почти линейно) зависит от времени при постоянной скорости

2.3. Измерение сил. Закон  Гука.

В окружающем нас мире все находиться в непрерывном  движении и изменении. Движение –  неотъемлемое свойство материи. Нет  и не может быть материи без движения  и движения без материи. Но, двигаясь, тела встречаются с друг другом и взаимодействуют. Взаимодействие тел может происходить по-разному. Например, одну и ту же пружину ребенок растянет меньше, чем взрослый человек. Для характеристики взаимодействия тел в физике  введена особая величина сила.

Сила – векторная  величина, характеризующая механическое действие одного тела на другое и являющаяся мерой этого действия.

Рассматривая взаимодействие тел и возникающие при этом деформации, английский физик Роберт Гук пришел к выводу, что абсолютное удлинение при упругих деформациях прямо пропорционально приложенной силе.

Формула: l=1/k*F, где k – коэффициент, характеризующий пружину, называемый жесткостью.

2.4. Эксперимент. Определение зависимости действующей силы от удлинения пружины.

Цель: определить вид  зависимости действующей силы от удлинения пружины.

Оборудование: динамометр, бруски весом 1Н, линейка.

Ход эксперимента: подвесим брусок весом 1Н на пружину динамометра. Измерим с помощью линейки на сколько сантиметров растянулась пружина. Повесим второй брусок и опять измерим длину пружины и так далее. Запишем результаты опыта в таблицу.

 

Результат:

Вес бруска (Н)	1	2	3	4
Длина пружины (см)

 

 

 

 

 

Вывод: построив график мы сделали вывод, что удлинение пружины линейно зависит от действующей силы.

Примечание: закон Гука действует  только при относительно небольших  сжатиях или растяжениях. Вещество сохраняет свои упругие свойства, если сила деформации прямо пропорциональна ее величине.  Мы имеем дело с линейчатой системой, где каждому … приложенной силы соответствует равное… деформации. Если же преодолеть предел эластичности, то … связи пружины внутри вещества сначала ослабевают, затем рвутся и простое линейное уравнение Гука перестает описывать происходящее, говорят, что система стала нелинейной.

2.5. Движение при наличии  трения.

При движении тел между  ними возникают силы трения. Силу взаимодействия соприкасающихся поверхностей двух тел  называют силой внешнего трения.

        2.6 Эксперимент. Определение зависимости  между силой трения и весом  тела.

Цель: определить вид  зависимости между силой трения и весом тела.

Оборудование: динамометр, бруски 1Н 

Ход эксперимента: на стол положили брусок массой 1Н и потащили его с помощью пружины динамометра. Зафиксировали результат, показанный динамометром. Увеличим вес груза, протащим брусок опять некоторое расстояние, зафиксируем результат. И так далее, увеличивая вес брусков. Результат запишем в виде таблицы.