Леонард Эйлер и Россия

          Эйлер  ввёл понятие первообразного  корня и выдвинул гипотезу, что  для любого простого числа  p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза Эйлера — квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом. 

     2.2 Математический анализ.

          Одна  из главных заслуг Эйлера перед  наукой — монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768—1770 годах — три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники.

          Основание  натуральных логарифмов было  известно ещё со времён Непера  и Якоба Бернулли, однако Эйлер  дал настолько глубокое исследование  этой важнейшей константы, что  с тех пор она носит его  имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера — Маскерони.

     Он делит с Лагранжем  честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Эйлера — Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»).

          Эйлер  значительно продвинул теорию  рядов и распространил её на  комплексную область, получив  при этом знаменитую формулу  Эйлера. Большое впечатление на  математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

          Современное  определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций — тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши — Римана», более правильно было бы назвать «условиями Даламбера — Эйлера».

          Он  первый дал систематическую теорию  интегрирования и используемых  там технических приёмов, нашёл  важные классы интегрируемых  дифференциальных уравнений. Он  открыл эйлеровы интегралы — ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения.

          С более  поздней точки зрения, действия  Эйлера с бесконечными рядами  не всегда могут считаться  корректными (обоснование анализа  было проведено лишь полвека  спустя), но феноменальная математическая  интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер действовал здесь достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превосходило стандартное понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX — начале XX века. 

     2.3 Геометрия.

          В элементарной  геометрии Эйлер обнаружил несколько  фактов, не замеченных Евклидом:

• Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
• В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера».
• Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).
• Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.

          Второй  том «Введения в анализ бесконечно  малых» (1748) — это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.

     В 1760 году вышли фундаментальные  «Исследования о кривизне поверхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны, и плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами.

          1771 год: опубликовано сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей. 

     2.4 Комбинаторика.

         Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений.

          Он  исследовал алгоритмы построения  магических квадратов методом  обхода шахматным конем.

     При решении комбинаторных  задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера. 

     2.5 Другие области математики.

          Теория  графов началась с решения  Эйлером задачи о семи мостах  Кёнигсберга.

         Метод ломаных Эйлера, один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применяется до наших дней. 

     2.6 Механика и математическая физика.

         Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике, акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29-летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика становится прикладной математической дисциплиной.

          В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей», в которых положено начало теоретической гидродинамике. Выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости. Разобраны решения системы для разных частных случаев.

          В 1765 году в книге «Теория движения твёрдых тел» Эйлер математически описал кинематику твёрдого тела конечных размеров (до него исследовалось в основном движение точки). Он ввёл в математику углы Эйлера и теорему вращения. Его имя также носят кинематическая формула распределения скоростей в твёрдом теле, уравнения (Эйлера — Пуассона) динамики твёрдого тела, важный случай интегрируемости в динамике твёрдого тела.

          Эйлер обобщил принцип наименьшего действия, довольно путано изложенный Мопертюи, и указал на его основополагающее значение в механике. К сожалению, он не раскрыл вариационный характер этого принципа, но всё же привлёк к нему внимание физиков, которые позднее выяснили его фундаментальную роль в природе. 

     2.7Астрономия.

          Эйлер  много работал в области небесной  механики. Он заложил основу теории  возмущений, позднее завершённой  Лапласом, и разработал очень  точную теорию движения Луны. Эта теория оказалась пригодной  для решения насущной задачи  определения долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Эйлеру специальную премию.

          Основные  труды Эйлера в этой области:

• «Теория движения Луны», 1753.
• «Теория движения планет и комет» (лат. Theoria motus planetarum et cometarum), 1774.
• «Новая теория движения Луны», 1772.

          Эйлер  исследовал поле тяготения не  только сферических, но и эллипсоидальных  тел, что представляло собой  существенный шаг вперёд. 

     2.8 Инженерное дело.

         В 1757 году  Эйлер впервые в истории нашёл  формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения.

          Почти  сто лет спустя, когда во многих  странах — и прежде всего в Англии — стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение.

          Я думаю,  что Леонард Эйлер - великий  математик математиков. “Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий  учитель” , — любил повторять Лаплас. И труды Эйлера с большой пользой для себя читали — точнее, изучали — и “король математиков” Карл Фридрих Гаусс, и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. 
     Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений. 
     Всем нам знакомы понятия о точках Эйлера, прямой Эйлера и окружности Эйлера в треугольнике; о теореме Эйлера для многогранников. Один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет, называется методом ломаных Эйлера; во многих разделах математики важную роль играют Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера) . В механике при описании движения тел пользуются углами Эйлера, в гидродинамике рассматривается число Эйлера… Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список литературы.

1. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва Астрель .: 2002. – 475 с.
2. Артемьева Т. В. Леонард Эйлер как философ // Философия в Петербургской Академии наук XVIII века. — СПб.: 1999. — 182 с.
3. Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.
4. К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера. — Сборник. — Изд-во АН СССР, 1958.
5. Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII—XIX веков. — 1956.
6. Юшкевич А. П. История математики в России. — М.: Наука, 1968.