Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Декабря 2011 в 20:19, курс лекций
Под табуляцией функции понимается вычисление значений функции в зависимости от аргумента, который меняется в определенных пределах с постоянным шагом. Решение задачи табуляции является достаточно характерным примером реализации циклического алгоритма.
1. Табуляция функции 4
1.1. Практические задания 6
2. Методы нахождения корней уравнений 8
2.1. Метод половинного деления 8
2.2. Итерационные методы 10
2.3. Практические задания 15
3. Вычисление определенного интеграла 16
3.1. Практические задания 19
4. Вычисление конечных сумм 20
4.1. Практические задания 24
5. Индексированные переменные 26
5.1. Одномерный массив 26
5.2. Практические задания 30
5.3. Двумерный массив 32
5.4. Практические задания 38
6. Решение системы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса 41
6.1. Практические задания 44
Литература 46
12. В матрице A найти столбец ak, сумма элементов aki которого минимальна. Вывести номер столбца, его элементы и их сумму.
13. Дана матрица C. В каждой строке переставить максимальный cik и минимальный cij элементы.
14. В прямоугольной матрице X найти разность между наибольшим xik и наименьшим xjn элементами.
15. Дана прямоугольная матрица A размерности m´n, получить вектор B = {b1, b2, ..., bm} из максимальных элементов строк.
16. Пронормировать матрицу X по ее максимальному элементу, т.е. каждый элемент матрицы xik разделить на максимальный. Вывести на экран максимум и номера строки и столбца, где он находился. Вывести нормированную матрицу.
17. Дана матрица A размером m´n и вектор Y = {y1, y2,..., yn}. Найти вектор P, равный произведению вектора Y на матрицу A. Формула векторного умножения выглядит следующим образом:
18. Даны квадратные матрицы A и B размером n´n. Выполнить их перемножение C=A×B по традиционному правилу – строки первой матрицы поочередно скалярно умножаются на столбцы второй:
19. Заполнить квадратный массив A размером (10´10) следующим образом:
а)
20. Дана квадратная матрица A размером (n´n), где n - нечетное число. Осуществить несколько поворотов этой матрицы вокруг его центра на 90° против часовой стрелки.
21. Определить, является ли целая квадратная матрица (n´n) ортонормированной, т.е. такой, в которой скалярное произведение каждой пары различных строк равно 0, скалярное произведение каждой строки на себя равно 1.
22. Дана вещественная матрица A размером (8´5). Переставляя ее строки и столбцы, добиться того, чтобы наибольший элемент оказался в верхнем левом углу.
23.
Имеется несколько годовых
Система n линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 = a1,n+1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 = a2,n+1 , (6.1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn = an,n+1 ,
где xi - неизвестные величины, аij - коэффициенты системы, bi - свободные члены, которые здесь можно трактовать как элементы ai,n+1 расширенной матрицы коэффициентов.
Решением системы (6.1) называется совокупность чисел х1, х2, ..., хn, превращающая уравнения системы в тождества. Система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов аij не равен нулю.
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, является одним из наиболее распространенных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Алгоритм реализации метода можно разделить на два этапа.
Первый этап называется прямым ходом и начинается с того, что первое уравнение системы (6.1) преобразуется к виду:
x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = a1,n+1 , (6.2)
т. е. каждый
коэффициент первой строки делится
на первый коэффициент, являющийся
элементом главной диагонали:
a1j = a1j
/ a11.
Очевидно, что (6.3) осуществимо, если a11 ¹ 0. Поскольку конкретная система может иметь нулевой коэффициент a11, в модифицированном методе Гаусса («Метод Гаусса с выбором главного элемента») перед выполнением деления в системе (6.1) находится ненулевой и максимальный по абсолютной величине коэффициент ai1. Уравнение, содержащее этот коэффициент, меняется местами с первым уравнением. Это исключает деление на ноль, а также уменьшает возможную погрешность вычислений, связанную с делением на число, близкое к нулю.
Из
уравнения (6.2) следует, что
x1 = (a1,n+1 - a12 x2 -
. . . -
a1n xn) / a11 .
(6.4)
Подстановка
(6.4) в последующие уравнения
aij = aij - ai1 a1j
, где i = 2, 3, ..., n;
j = 1, 2, ..., n+1.
(6.5)
Далее
описанная выше процедура повторяется
для х2 из второго уравнения
и т. д. В результате мы получаем равносильную
исходной систему линейных уравнений
x1 + a12 x2 + a13 x3
+ . . . + a1n xn = a1,n+1
x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = a2,n+1 (6.6)
. . . . . . . . . . . . . . . .
с треугольной матрицей преобразованных коэффициентов.
Второй этап решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, называемый обратным ходом, заключается в последовательном определении неизвестных хi по формулам (6.6) снизу вверх, начиная с хn и заканчивая х1.
На рис. 6.1 приводится структурограмма алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 6.1.
Алгоритм решения линейных
алгебраических уравнений
методом Гаусса
При выполнении задания необходимо ввести в программу проверку правильности полученного решения путем подстановки полученных значений xi в наиболее полное уравнение исходной системы.
1. 4x1 + 2x2 - 3x3 = -2,
2x1 + 8x2 - x3 = 8,
9x1 + x2 + 8x3 = 0.
2. x1 + x2 - 3x3 + 2x4 = 6,
x1 - 2x2 - x4 = -6,
x2 + x3 + 3x4 = 16,
2x1 - 3x2 + 2x3 = 6.
3. x1 + 2x2 - x3 = 8,
x2 + 3x3 + x4 = 15,
4x1 + x3 + x4 = 11,
x1 + x2 + 5x4 = 23.
4. 36,47x1 + 5,28x2 + 6,34x3 = 12,26,
7,33x1 + 28,74x2 + 5,86x3 = 15,15,
4,63x1 + 6,31x2 + 26,17x3 = 25,22.
5. 2x1 + x2 + x3 = 5,
x1 - 2x2 + x3 = -5,
–7x1 + x2 - x3 = 10.
6. x1 + x2 - x3 + x4 = 4,
2x1 - x2 + 3x3 - 2x4 = 1,