I » S = [0,5×(f(a) + f(b)) + f(a + Dx) + f(a + 2×Dx) +…+ f(a + (n - 1) ×Dx)]×Dx .

Метод парабол (Симпсона)

  Проводя через три следующих подряд значения функции параболу, можно приближённо представить интеграл I как сумму площадей параболических трапеций:

I » S =  [(f(a) + f(b) + 4(f(a + Dx) + 2(f(a + 2×Dx) + 4(f(a + 3×Dx) + …

         + 4(f(a + (n - 1)×Dx)]×Dx / 3 =

где:  

  Количество  разбиений n обязательно должно быть чётным, поскольку число параболических трапеций в 2 раза меньше.

  Вычисление интеграла с заданной точностью здесь основано на том, что формально точность должна возрастать с увеличением числа разбиений n интервала интегрирования. Пусть S_n – значение интеграла, полученное при разбиении интервала интегрирования на n частей, и S_2n – значение, вычисленное при удвоенном числе разбиений. Тогда можно использовать следующие критерии достижения заданной точности e:

     | S_2n – S_n| < e  при S_2n < 1   и   |(S_2n – S_n) / S_2n | < e  при S_2n  ³ 1.

  На  рис. 3.2 приведён алгоритм численного решения интеграла с заданной точностью. Непосредственное нахождение значения интеграла по какому-либо из предложенных выше методов предлагается оформить в виде подпрограммы.

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 3.2. Структурограмма алгоритма решения определённого интеграла

3.1. Задания на вычисление определённого интеграла

4. Вычисление конечных сумм

  Часто для вычисления значений некоторой  функции используют разложение этой функции в бесконечный ряд. Так, например, функцию у = e ^x можно представить в виде ряда Маклорена:

,

где - общий член ряда, а R_n - остаточный член ряда. Так как ряд сходится, т.е. остаточный член при увеличении значения n стремится к нулю, то функцию у = e^x можно аппроксимировать конечной суммой вида:

  если  ,

где e - заранее заданная точность аппроксимации.

  Вычисление  конечных сумм для различных значений аргумента функции х и для различного количества членов ряда n представляет собой задачу с двумя вложенными циклами. Внутренний цикл - вычисление суммы n членов ряда для фиксированного значения х; внешний цикл - изменение аргумента х в заданном интервале.

  Алгоритм  вычисления конечной суммы зависит  от вида общего члена ряда.

Ряды, содержащие факториалы и степени высоких  порядков

,

требуют вычисления факториала и возведения аргумента в степени высоких порядков для каждого члена ряда. Прямое использование формулы общего члена ряда приводит к увеличению объема вычислительной работы и, при больших n, к уменьшению точности.

  В этих случаях для вычисления очередного члена суммы используют рекуррентные соотношения, т.е. выражают последующий член ряда через предыдущий. Например, необходимо вычислить сумму 20 членов ряда:

,

где аргумент х изменяется в интервале [0;1] с шагом 0,1.

  а)              у = 3^х        б)        

  

Рис. 4.1. Блок-схемы вычислений сумм двух рядов различного типа

 Эта сумма является частичной суммой ряда для функции у = 3^х.  
Составим рекуррентную формулу, основываясь на формулах n-го и n+1-го членов ряда:

;   

то есть .

  Полагая а_n = 1 при n = 0, по этой формуле можно определить все члены ряда, исключая первый.

  Суммирование  проводится методом накопления. Присвоим переменной S начальное значение, равное первому члену суммы, в данном случае S = 1. Затем, вычисляя очередные члены ряда по рекуррентной формуле, прибавляем каждое из этих значений к накопителю: S = S + a_n. При составлении алгоритма (рис. 4.1(а)) учтем, что нам необходимо вычислить 19 следующих членов ряда, так как мы начали накопление с первого члена.

  Параллельно, для контроля правильности алгоритма, вычисляем и значение исходной функции у = 3^х.

Ряды, не содержащие факториалов  и степеней высоких порядков

  В качестве примера рассмотрим нахождение частичной суммы разложения в  ряд функции:

.

  Для рядов подобного типа нецелесообразно  прибегать к  
составлению рекуррентных формул. Каждый очередной член  
определяется подстановкой значения n в формулу общего члена. Так,  
при n = 1 запишем a₁ = -cos(x),  при n = 2 получаем и т.д.

  Составим  алгоритм вычисления суммы этого  знакопеременного ряда. Пусть количество слагаемых n = 30, диапазон изменения аргумента 0,l ≤ x ≤ l и его шаг Dx = 0,1. Положим S = 0, n = 1, C = -1 и вычислим первый член суммы по формуле общего члена ряда. Изменив знак С на обратный, в следующем выполнении цикла имеем второй член суммы и т. д. Полностью алгоритм нахождения суммы рассматриваемого ряда приведён на рис. 4.1(б).

Ряды  смешанного типа

  В подобных рядах целесообразно для  сомножителей, содержащих степени высших порядков и факториалы, составлять рекуррентные соотношения, а остальные сомножители вычислять непосредственной подстановкой значения n. В качестве примера рассмотрим вычисление значений ряда

для n = 30,  0,l ≤ x ≤ l,  Dx = 0,1. Сумма членов этого ряда является частичной суммой разложения функции . Для каждого члена ряда сомножители  (-1)ⁿ⁺¹ и х²ⁿ⁺¹ будем вычислять рекуррентно, а 1/(4n²-1) непосредственно. Ниже приведён листинг программы решения этой задачи.

  #include <stdio.h>

  #include <math.h>

  int main()

  {

  double x,a,S,y;

  int n;

  for (x=0.1; x<=1; x+=0.1)

        {

        a=-x;

        S=0;

        for (n=1;n<=30;n++)

              {

              a=-a*x*x;

              S=S+a/(4*n*n-1);

              }

        y=0.5*((x*x+1)*atan(x)-x);

        printf("x=%3.1f  S=%8.5f  y=%8.5f \n",x,S,y);

        };

  getchar();           /* ожидание нажатия клавиши пользователем */

  return 0;

  }

  Так как алгоритмы вычисления конечных сумм очень индивидуальны, рекомендуется составленную программу проверить подстановкой для первых двух-трех членов суммы. Для контроля правильности составления алгоритма в наших задачах параллельно с вычислением суммы значение функции определяется и непосредственно.

4.1. Задания на нахождение конечной суммы ряда

  а) Решить задачу вычисления конечной суммы  ряда для заданного числа n при изменении аргумента х в заданном диапазоне, количество шагов изменения х равно 10,

  б) Определить число членов конечной суммы n, позволяющее аппроксимировать функцию с заданной точностью e (например, e = 10^-5), исходя из критерия .