Контрольная работа по высшей метематике

Найдите пределы последовательностей.

  а)     б)

в)

Решение

а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

 

Разделим числитель  и знаменатель на n³:

=

б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим числитель  и знаменатель на n³:

в) Здесь имеет место  неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом .

  

Ответ: а) 0;  б) ;  в) е ^{- 2}

 

Задание 77

Найдите производную заданных функций:

          а)     б)

 

Решение

а)

 

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций

 (vⁿ)' = n v^{n - 1} v ', где  v = 2х³ + x в одном случае и v = - в другом случае. Получаем:

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

(arctg u)′ = - , где u = . Получим

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

, где  :

б)

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

, где  в одном случае, и - в другом случае. Получим

Ответ: а) ;  б)

Задание 87

Найдите предел функции :

1) не пользуясь правилом Лопиталя;

2) используя правило Лопиталя.

 

Решение

1. При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность . Чтобы избавиться от нее, преобразуем выражение и воспользуемся первым замечательным пределом .

Введем замену переменной:

1. x = t,  x = 1 – t, , t ® 0 при х ® 1.

2. Так как имеем неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:

Ответ : p

 

Задание 97

 Дана функция .

1) вычислите все частные производные первого порядка;

2) найдите производную в точке М₀ (2; 1; 1) по направлению вектора

;

3) найдите

Решение

1) Находим частные производные функции u= u(x,у):

    

    

    

2) Находим производную по направлению вектора :

 Находим направляющие косинусы вектора :

cosα =

cosβ =

cosγ =

Находим значения частных  производных в точке М₀:

Находим производную по направлению вектора в точке М₀ (2; 1; 1):

3) Находим градиент

                           

                           

 

Ответ: 1) 

            2) ;  3) ;  

    

Задание 107

Дана функция  . Вычислите значение ее частной производной четвертого порядка в точке

Решение

Найдем частные производные:

 

Вычислим значение производной в точке :

Ответ: 36

 

Задание 107

 Найдите неопределенные интегралы:

 а)  б) в)  г)

Решение

а)Преобразуем подинтегральное выражение

Сделаем замену переменной: t = 2x,  dt = 2dx, dx = dt/2.

_{Вернемся  к переменной х:}

б)

Найдем искомый интеграл методом замены переменной. Введем новую переменную t = sin5x. Тогда dt = 5cos5 dx, cos5 dx =  dt/5 Имеем

_{Вернемся  к переменной х:}

в)

Применим метод интегрирования по частям, для чего воспользуемся  формулой:

 Положим u = =3х² + 2х  

Тогда = (3х² + 2х ) ¢ =6x + 2;  du = (6x + 2)dх = 2(3x + 1)

Повторным интегрированием  по частям найдем интеграл .

3х + 1 = u,  du 3dx

Тогда искомый интеграл

=

 

г) 

Умножим числитель и  знаменатель на сопряженное знаменателю  выражение

:

Полученный интеграл представим в виде двух интегралов:

     = = =

Аналогично найдем

     = =

Получили 

Ответ: а)    ;   б) ;  в) ;

             г)