Контрольная работа по высшей метематике

 

 

Министерство образования  республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

 

Специальность «Моделирование и компьютерное проектирование РЭС»

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По курсу_____________________________________

 

Вариант № 7

 

Студент-заочник1курса

Группы № 080223

ФИО Гринько Олег Геннадьевич

Адрес Гродненская  обл. г. Новогрудок ул. Некрасова 7

Тел.8029 8818937

 

 

 

Минск, 2010

 

Контрольная работа №1

Задание 7

 

Даны три комплексных числа

 1) выполните действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости.

Решение

1) а) Найдем число в в алгебраической форме.

    Найдем поэтапно: 

    z₂² =

    z₃⁴ = [(1-i)²]² = (1 - 2i + i²)² = (1 - 2i - 1)² = (- 2i)² = 4i² = - 4

    

Найдем частное двух комплексных чисел по формуле:

 

 

=

Итак,

б) Тригонометрическая форма комплексного числа: w = r(cosj + isinj), где

- модуль комплексного числа,

j = аргумент комплексного числа

Представим числа z₁, z₂, z₃ в тригонометрической форме:

j₁ = (угол находится во 2-ой четверти).

z₁ = r₁(cosj₁ + isinj₁) = 4(cos + isin )

j₂ = (угол находится в 3-ей четверти).

z₂ = r₂(cosj₂ + isinj₂) = 2(cos + isin )

j₃ = (угол находится в   4-ой четверти).

z₃ = r₃(cosj₃ + isinj₃) = (cos + isin )

Для нахождения z₂² воспользуемся формулой Муавра:

(r (cosj + i sinj)) ⁿ = rⁿ (cos nj + i sin nj)

z₂² = r₂²(cos2j₂ + isin2j₂) = 2² (cos + isin ) = =

Аналогично находим z₃⁴ = r₃⁴(cos4j₂ + isin4j₂) = ( )⁴ (cos + isin ) = 4(cos 7p + isin 7p) = 4(cos (6p + p) + isin (6p + p)) = 4(cos p + i sin p)

Находим

Произведение двух комплексных  чисел в тригонометрической форме находят по формуле

Тогда

Частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме находят по формуле

Тогда

в) z = r e ^{i φ} - показательная форма комплексного числа.

 z₁ = r₁ = 4e

z₂ = r₂ = 2e

z₃ = r₃ = e

Далее воспользуемся формулой Муавра:

(r ) ⁿ = r ⁿ

z₂² = 2² e

Аналогично находим z₃⁴ = ( )⁴ = 4

Находим

2) Найдем расстояние d между точками и на комплексной плоскости, которое равно модулю их разности.

Разность двух комплексных  чисел вычисляем по формуле:

(а₁ + b₁ i) - (а₂ + b₂ i) = (a₁ - a₂) + (b₁ -  b₂) i

Тогда расстояние d между точками и будет

d =

Ответ: 1) - алгебраическая форма; - тригонометрическая форма; z = ; 2)

 

Задание 17

 

Решить уравнение на множестве комплексных чисел.

Решение

Решим заданное биквадратное уравнение относительно z²:

z² =

Это уравнение относительно z² не имеет решений на множестве действительных чисел и имеет два решения (z₁² = 3 + 3i и z₂² = 3 - 3i) на множестве комплексных чисел.

Тогда z₁ = и z₂ =

Квадратным корнем из комплексного числа будет комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу.

.Числа u и vопределим из равенств

Обозначим z₁ = = u + iv. Тогда

Соответственно 

Получили два значения корней:

 

Аналогично обозначим z₂ = = w - it. Тогда

Соответственно 

Получили два значения корней:

Как видим, корни λ₁ и λ₃, λ₂ и λ₄ являются соответственно сопряженными, т.к. чила z₁ и z₂ – сопряженные.

Ответ: ,  

             , 

 

Задание 27

 Решите систему уравнений тремя способами:

1) методом Крамера;

2) методом обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

 

 

 

Решение

а) Составим матрицу А  системы из коэффициентов этой системы  и найдем определитель матрицы:

  А =

 

  ∆ =

                    =  

                                                             

Т.к. ∆ ≠ 0, значит ранг r(A) матрицы системы и ранг расширенной матрицы

    ~                                ~

r (A) равны: r (A) = r (A) = 3. Значит, система уравнений совместна и имеет

 

единственное решение.

Решим заданную систему по формулам Крамера.

Решение системы найдем с помощью вспомогательных определителей ∆х₁,  ∆х₂, ∆х₃:

х₁ = ∆х₁ ,   х₂ = ∆х₂,     х₃ = ∆х₃

         ∆               ∆                  ∆ 

∆х₁ =

                    =  

  ∆х₂ =

                    =  

 

  ∆х₃ = 

 

                    =  

 

Найдем корни уравнения:

 

 х₁ = ∆х₁  =   -18    = 3 

          ∆        - 6      

 

х₂ = ∆х₂  =  - 6  = -1 

          ∆       - 6

 

х₃ = ∆х₃  =    18     = -3 

         ∆        - 6     

 

б)   Решим данную систему методом Гаусса, для чего проведем последовательных элементарных преобразований строк расширенной матрицы, стремясь к тому, к тому, чтобы каждая строка, кроме первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Представим систему  в виде расширенной матрицы:

 

Поменяем 1-ую и 3-ю строки местами:

 

Из 2-ой строки вычтем 1-ую, умноженную на 2. Из 3-ей строки вычтем 1-ую, умноженную на 3:

2-ую строку разделим на (-3) и поменяем ееместами с 3-ей:

Получили эквивалентную исходной систему:

  ì х₁  -  х₂  +  2х₃  = - 4               

  í        2х₂ -  5х₃  = 17    

 î                    х₃   = - 3               

Последовательно снизу  вверх находим:

х₃ = - 3,

2х₂ - 5 × (-3) = 17  Þ 2х₂ = 2    Þ     х₂ = 1

х₁  -  1  +  2 × (-3) = - 4  Þ   х₁ = 3

 

в) Решим исходную систему матричным  методом.

 

Рассмотрим три матрицы системы: 

                                     

матрицу системы  А =                                                                                   

         матрицу- столбец неизвестных  В =                                                                  

        матрицу- столбец правых частей (свободных членов) С =                                                                           

 

Тогда систему можно  записать в матричном виде: АВ = С, а т.к. определитель матрицы А   ∆ = detA =  - 6 ≠ 0, то ее решение можно записать в матричном виде:  В = А^-1С,  где А^-1 - матрица, обратная к матрице А.

Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам  матрицы.  А затем транспонируем ее, т.е. поменяем ее строки на столбцы, а столбцы на строки и найдем обратную матрицу А^-1 по формуле:

А^-1 =  , где А_ij - алгебраические дополнения соответствующих  элементов.

 

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ = - 2 · 2 – (-1) · 1 = - 3

 

А₁₂ = (-1)¹⁺² = - (2 · 2 – 1 · 1) = - 3

                        

А₁₃ = (-1)¹⁺³ =  2 · (-1) – (-2)· 1  = 0

                          

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = - ((-1) · 2 – 1· (-1) = 1

 

А₂₂ = (-1)²⁺² =  3 · 2 – 1 · 1 = 5

 

А₂₃ = (-1)²⁺³ = - (3 · (-1) – 1 · (-1)) = 2

 

А₃₁ = (-1)³⁺¹ =  (-1) · 1 – (- 2) · 1 = 1

 

А₃₂ = (-1)³⁺² = - (3 · 1 – 2 · 1) = - 1

 

А₃₃ = (-1)³⁺³ = 3 · (- 2) – 2 · (-1) =  - 4

 

А^-1 = 

 

             Таким образом, х₁ = 3; х₂ = 1; х₃ = - 3

Ответ: х₁ = 3; х₂ = 1; х₃ = - 3

 

Задание 37

 Даны три вектора   Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

Решение

3) Найдем смешанное  произведение  векторов  :

   Т.к.  ≠ 0, значит данные векторы не компланарны. Таким образом, они линейно независимы и образуют базис. При этом, они образуют левую тройку векторов, т.к. их смешанное произведение – число отрицательное:

 = - 17 < 0.

Ответ: Векторы  образуют базис, тройка векторов – левая.

 

Задание 47

Даны координаты вершин треугольной пирамиды А₁А₂А₃А₄:

  Найдите:

1) угол между  ребрами  и

2) площадь грани

3) высоту, опущенную из вершины на грань

4) уравнение  прямой, проходящей через ребро 

5) уравнение  плоскости, которой принадлежит грань

6) массу материальной  треугольной пирамиды  изготовленной из меди плотности (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

Решение

1) Найдем направляющий вектор прямой  А₁А₂:

            -.

Аналогично найдем направляющий вектор прямой А₁А₄:

          - направляющий вектор  прямой  А₁А₄ .

Угол между ребрами  А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол j между векторами :

                                     

                          _®  ^   _®

Следовательно, (А₁А₂, А₁А₄)  = j = arccos 0,967 » 0,258(рад) » 14,76 ^о

2) Найдем площадь грани А₁ А₂ А_3. 

Имеем

Найдем 

 

 

 

3) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;    по формуле:

,

где N(A, B,C) – нормальный вектор к плоскости А₁А₂ А₃, являющийся направляющим вектором искомой высоты.

Имеем:

 

 

4) Запишем уравнение прямой, проходящей через ребро А₁А₂ в виде уравнения прямой, проходящей через две точки А₁ и А₂:

 

- уравнение прямой  А₁А₂.

5) Найдем уравнение плоскости, которой принадлежит грань А₁А₂ А₃ по трем точкам:

(x-3)( - 3 - 2)  – (y - 2)( -1 + 4) + ( z - 1)(-1 - 6) = 0

- 5(x-3)  - 3(y - 2) - 7( z - 1) = 0

- 5x  - 3y - 7z + 28 = 0  Û

 5x + 3y + 7z - 28 = 0  – общее уравнение плоскости А₁А₂ А₃.

= (A, B, C) = (5, 3, 7) – нормальный вектор плоскости  А₁А₂ А₃.

 

6) Массу пирамиды изготовленной из меди плотности , найдем по формуле:

 m = m V, где V – объем пирамиды.

Найдем объём пирамиды по формуле:

 V = ,

где S- площадь грани А₁ А₂ А_3, h – высота, опущенная из вершины А₄.

 Найдем длину высоты h как расстояние от точки А₄ (2; -1; 2) до

плоскости  А₁ А₂ А₃:

Ответ: 1) »14,76 ^о; 2) ; 3)  ; 

             4);  ; 5) 5x + 3y + 7z - 28 = 0;  6) 10,4 грамма.

 

Задание 57

Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением   

:

1) на плоскости,

2) в пространстве.

Решение

1. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:

3(х² + 6х + 9) – у – 27 + 28 = 0

3(х + 3)² =  у – 1

(х + 3)² =  (у – 1)

Введем новые координаты:

х + 3 = х¢,  у – 1 = у¢

Тогда уравнение примет вид

х ′ ² = у′

Получили каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси ординат. Ветви ее обращены в положительную сторону оси ординат. Вершина находится в точке О′ (- 3; 1) в системе координат хОу.

2р = ,  р =

Изобразим полученную параболу на плоскости хОу:

                      

В пространстве данное уравнение  описывает параболический цилиндр, который пересекает плоскость хОу по параболе с вершиной в точке (-3, 1, 0).

Контрольная работа №2

Задание 67