Контрольная работа по «Высшая математика»

Автор: Пользователь скрыл имя, 30 Ноября 2011 в 16:20, контрольная работа

Описание работы

Задание № 1 Вычислить пределы функций:
Решение. Числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны нулю, то есть мы имеем дело с неопределенностью . Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. Числитель раскладываем по теореме Виета, первый корень , а второй . Знаменатель раскладываем воспользовавшись формулой разности квадратов . Тогда

Содержание

Задание № 1 Вычислить пределы функций:
а) ; б) ;
в) ; г)
Задание № 2 Вычислить производные таких функций:
а) ; б) ; в)
г) , д)
Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид
.
Задание № 4 Построить график функции

Скачать полностью (134.71 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа содержит 1 файл

Контрольная работа по ВМ1.doc

— 491.50 Кб (Скачать)

      Наконец, заменив в определителе системы третий столбец (коэффициенты при x3) столбцом свободных членов, получим Δ3. Вычислим его (по правилу треугольников):

  1 2 3  
Δ3= 2 -1 -3 =(1·(-1)·(-4))+(2·(-3)·5)+(2·1·3)-(3·(-1)·5)-(2·2·(-4))-(1·(-3)·1)=4+(-30)+
  5 1 -4  
 
+ 6-(-15)-(-16)-(-3)=14   Δ3=14≠ 0  

С помощью  формул Крамера получаем следующее  решение системы:

x1 = Δ1 = 7 =-1;   x2 = Δ2 = -21 =3;   x3 = Δ3 = 14 =-2;    
Δ -7 Δ -7 Δ -7
 

 

  1. Решить  ситему линейных уравнений  методом Обратной матрицы: (66,26)

Решение

      Составим  матрицы системы: матрицу коэффициентов  при неизвестных A, матрицу свободных членов B и матрицу неизвестных X.

     

      Тогда всю систему можно представить  как: A*X=B.

      Отсюда   X=B/A =A-1*B, где A-1 – матрица, обратная A, которая вычисляется по формуле:

             где Aij - алгебраические дополнения элементов aij матрицы A.

      Вычисляем определитель матрицы:

  3 3 1  
Δ= 7 6 2 =(3·6·2)+(3·2·7)+(7·9·1)-(1·6·7)-(3·7·2)-(9·2·3)= 36+42+63-42-42-54=3
  7 9 2  
    Δ=3 ≠ 0  

т.к. определитель не равен 0 (Δ ≠ 0), то для матрицы A можно получить обратную матрицу A-1.

      Вычисляем алгебраические дополнения:

A11=(-1)1+1 · 6 2   = 6· 2 - 9· 2 = 12 – 18 = -6;
9 2
                                       
A12=(-1)1+2 · 7 2   = -1· (7· 2 – 7· 2) = –(14 – 14) = 0;
7 2
                                       
A13=(-1)1+3 · 7 6   = 7· 9 – 7·6 = 63 – 42 = 21;
7 9
                                       
A21=(-1)2+1 · 3 1   = -1· (3· 2 – 9· 1) = –(6 – 9) = 3;
9 2
                                       
A22=(-1)2+2 · 3 1   = 3 · 2 – 7 · 1 = 6 – 7 = –1;
7 2
                                       
A23=(-1)2+3 · 3 3 = -1· (3 · 9 – 7 · 3) = –(27 – 21) = –6;
7 9
       
A31=(-1)3+1 · 3 1   = 3· 2 – 6 · 1 = 6 – 6 = 0;
6 2
                                       
A32=(-1)3+2 · 3 1   = -1· (3· 2 – 7 · 1)= –(6 – 7) = 1;
7 2
                                       
A33=(-1)3+3 · 3 3 = 3 · 6 – 7 · 3 = 18 – 21 = -3;
7 6
 

      Подставляем полученные алгебраические дополнения и получаем обратную матрицу A-1:

      

      Далее перемножаем обратную матрицу A-1 на матрицу свободных членов B и получаем матрицу решений X:

Итак, в  результате получаем:   x1 = 2;   x2 = 1;   x3 = -1.

 

  1. Решить ситему линейных уравнений методом Гаусса: (67,19)

Решение

      Составим  расширенную матрицу системы:

      Элементарными преобразованиями добиваемся того, чтобы  все элементы главной диагонали  расширенной матрицы стали равны 1, а элементы, расположенные ниже главной диагонали, обратились в 0:

 

      Полученной  матрице соответствует следующая  система уравнений:

      Поднимаясь  от последнего уравнения эквивалентной  системы уравнений к первому, найдем решения системы:

  

Таким образом, система имеет следующее  единственное решение:

          
 
 
 
 

  1. Написать  уравнения директрис  эллипса: . (43)

Решение

Уравнениями дирректрис эллипса является уравнения прямых:

       и  ,

где  e – эксцентриситет эллипса, который определяется по формуле:

, где

c – фокусное расстояние. 

Фокусное расстояние определяется по формуле:       .

Подставляя формулы  эксцентриситета и фокусного  расстояния в уравнения дирректрис, получаем:

Сравнивая данное уранение:    

с каноническим уравнением эллипса:   , 

видим, что:   ;  а   .

Подставляя  значения квадратов большой и малой полуосей эллипса в уравнения директрис, получим:

Ответ: уравнения директрис эллипса   x = –25   и    x = 25. 
 
 
 

  1. Найти предел: . (96)

    Решение.

    При  числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, т.е. являются бесконечно большими последовательностями. Характер неопределенности . Разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень дроби, т.е. на . К полученному выражению применим теорему о пределе частного и теорему о пределе суммы, т.е.:

    . 
     

  1. Найти предел: . (145)

    Решение.

    Имеем неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности удобно применить тригонометрические формулы: . В результате получаем:

    так как  – первый замечательный предел.  
     
     
     
     
     

Список используемой литературы.

  1. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах: Учебное пособие. В двух частях. Ч.1. – Донецк, 2002. – 528с.
  2. Сборник задач по высшей математике /Сост.: С.В.Брадул, Е.М.Малиненко, Л.Е.Шайхет. – 2-е изд., перераб. – Донецк: ДонГАУ, 2000.– 52с.
  3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. –  М.: Наука, 1972. – 872с.

Информация о работе Контрольная работа по «Высшая математика»