Контрольная работа по «Высшая математика»

Министерство  образования и  науки украины

Донецкий  институт автомобильного транспорта 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

студента  заочного отделения группы

Вариант: 3

Рецензент:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Донецк 2004

 

Задание № 1 Вычислить пределы функций:

а) ; б) ;

в) ; г)  

Задание № 2 Вычислить производные таких функций:

а) ; б) ; в)

г) ,     д)  

Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид

.

Задание № 4 Построить график функции

 

Решение

Задание № 1 Вычислить пределы функций:

Решение. Числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны нулю, то есть мы имеем дело с неопределенностью . Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. Числитель раскладываем по теореме Виета, первый корень , а второй . Знаменатель раскладываем воспользовавшись формулой разности квадратов . Тогда

затем сократим дробь на , считая, что , но , то есть :

Ответ: . 

б) 

Решение. Имеем неопределенность вида , т.к. при пределы числителя и знаменателя равны нулю. Здесь в числителе и в знаменателе присутствует иррациональность. Поэтому следует умножить и числитель, и знаменатель на сопряженные выражения и для того, чтоб воспользоваться формулой разности квадратов .

затем сократим дробь на , считая, что , но , то есть , а значит и :

.

Ответ: . 

в) ;

Решение. Поскольку при числитель и знаменатель представляют собой бесконечно малые функции, то мы вправе заменить их соответствующими бесконечно малыми функциями, а именно: и . Тогда после сокращения дроби на (так как ), получим результат:

Ответ:  

г)

Решение. Перейдем в дроби, которая расположена в скобках, от бесконечно больших к бесконечно малым , деля числитель и знаменатель этой дроби на . Одновременно используем свойства показателя степени и запишем наше выражение так:

второй  множитель имеет предел равный единице, так как , , а в первом множителе предел частного равен частному пределов. Используя второй замечательный предел , получим результат:

.

Ответ:  

Задание № 2 Вычислить производные таких функций:

а) ;

Решение. Для решения задачи используем таблицу основных производных и правило дифференцирования сложной функции.

.

Ответ:  

б) ;

Решение. Для упрощения вычисления производной вначале прологарифмируем обе части равенства и используем соответствующие свойства логарифмов:

Далее вычисляем производные левой  и правой частей равенства, считая функцией от (то есть – сложная функция)

Умножим обе части равенства на и выполним необходимые преобразования:

.

Ответ:  

в) ;

Решение. Для упрощения вычисления производной вначале прологарифмируем обе части равенства и используем соответствующие свойства логарифмов:

;

Далее вычисляем производные левой и правой частей равенства, считая функцией от (то есть – сложная функция):

Умножим обе части равенства на и выполним необходимые преобразования:

.

Ответ:  

г) ,   

Решение. Используем правило нахождения производной неявной функции, то есть находим производную обоих частей, считая функцией от :

.

Из полученного  равенства находим  :

, откуда 

Ответ:  

д)

Решение. По таблице производных производная функции, которая задается в параметрической форме равна , то есть

Ответ:  

Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид

.

Решение. Следуя определению дифференциала, находим производную заданной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получаем дифференциал функции:

Ответ:  

Задание № 4 Построить график функции

Решение.

1. Областью определения функции является вся числовая ось. То есть
2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: если , то ; если, то , и . Получаем в результате разложения на множители уравнения , где – биквадратное уравнение. Пусть , тогда решаем по теореме Виета: . Возвращаясь к переменной , получаем: при , , а при , уравнение не имеет решений. Таким образом кривая пересекает координатные оси в точках , и .
3. Проверим четность функции. Получаем

 
Так как выполняется условие  , то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому дальнейшее исследование будем проводить для .

4. Функция непрерывна на всей числовой оси. Так как функция не имеет точек разрыва 2-го рода, то вертикальных асимптот нет. Проверим наличие наклонных асимптот :

, отсюда следует, что график  заданной функции не имеет  наклонных асимптот.

5. Исследования на монотонность и выпуклость функции объединим и составим сводную таблицу, где в первой строке поместим все критические точки, подозрительные как на экстремум, так и на перегиб графика функции, и соответствующие интервалы.

Найдем  первую производную и критические точки I рода:

  при 

Пусть , тогда , где , а ; то есть , а . Возвращаясь к переменной , получаем: при , , а при , уравнение не имеет решений. Итак, критические точки I рода .

Найдем  вторую производную и критические  точки II рода:

 при , то есть или , и – критические точки II рода.

Исследуем знаки производных в интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: 

 

 

6. прп

 
 
 

Решить  систему линейных уравнений методом  Крамера: (66,4)

Решение

      Составим  определитель системы из коэффициентов  при неизвестных и вычислим его (по правилу треугольников):

т.к. определитель не равен 0 (Δ≠0), то система совместна и имеет единственное решение. Вычислим последовательно определители Δ₁, Δ₂  и Δ₃.

      Заменив в определителе системы первый столбец (коэффициенты при x₁) столбцом свободных членов, получим Δ₁. Вычислим его (по правилу треугольников):

 

      Аналогично, заменив в определителе системы  второй столбец (коэффициенты при x₂) столбцом свободных членов, получим Δ₂. Вычислим его (по правилу треугольников):