Контрольная работа по "Теории вероятностей"

41. Пусть вероятность  нарушения герметичности банки  консервов равна 0,0005. Найти вероятность  того, что среди 2000 банок окажутся  с нарушением герметичности: а)  две; б) не более двух.

42. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется бракованных: а) восемь деталей; б) менее восьми деталей.

43. На прядильной  фабрике работница обслуживает  750 веретен. Считая, что вероятность  обрыва пряжи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени равна 0,008, найти вероятность того, что за это время у работницы произойдет не более 5 обрывов.

44. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости равна 0,05. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что: а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл будет не более трех.

45. Аппаратура содержит 2000 одинаково  надежных элементов, вероятность  отказа каждого из них равна  0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одного из элементов?

46. Вероятность того, что изделие  не выдержит испытание, равна  0,001. Найти вероятность того, что  из 5000 изделий более чем одно  не выдержит.

47. Вероятность того, что любой  абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,005. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов.  Какова вероятность того, что в течение часа позвонит 5 абонентов; не менее 5 абонентов.

48. Имеется 50 кг теста для изготовления  булок и изюм в количестве 2500 изюминок. На каждую булку идет 100 г теста. Какова вероятность того, что в наугад взятой булке будет хотя бы одна изюмина?

49. ДСК отправил на стройку  500 оконных рам. Вероятность разбить  стекло в раме при перевозке  равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее трех рам.

50. Во время стендовых испытаний  подшипников качения 0,4% отходит  в брак. Какова вероятность того, что при случайном отборе 5000 подшипников  обнаружится не более 5 бракованных?  

 

ЗАДАНИЕ № 6 

Локальная и интегральная формулы  Лапласа 

 

Пример: Вероятность набить перфокарту неверно, равна  q = 0,2. Найти вероятность того, что среди n = 900  набитых перфокарт окажется: а) 720 набитых правильно; б) не менее 730 набитых правильно.

Решение: Вероятность события А – ровно  k = 720 перфокарт набито

правильно по локальной формуле Лапласа равна  Р(А) = ,  где    p = 1 – q = 0,8,  х = = = 0,  φ(x) =  – функция Гаусса, её значения приведены в приложении 1, а именно φ(0) = 0,3989,  и Р(А) =  = 0,033.

Для события В – правильно набито от  k₁ = 730 до k₂ = 900 перфокарт по интегральной формуле Лапласа имеем   Р(В) =  Φ(х₂) – Φ(х₁) ,   где  

 

х₁ =

= =0,833,  х₂ = = =15, 

 

  а значения функции Лапласа  приведены в приложении 2. Φ(15)=0,5, Φ(0,833) = 0,2967. Тогда вероятность события В равна

Р(В) =  Φ(15) – Φ(0) = 0,5 – 0,2967 = 0,203. 

 

Контрольные задачи  51 – 60

51. Вероятность рождения мальчика  равна 0,515. Какова вероятность  того, что среди 1000 новорожденных  окажется не менее 480 девочек?

52. При штамповке металлических  клемм получается в среднем  90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм окажется  от 790 до 820 (включительно) годных.

53. Вероятность сборки неточного  прибора равна 0,2. Найти вероятность  того, что среди 500 приборов окажется  от 410 до 430 (включительно) точных.

54. Всхожесть семян данного растения  составляет 90%. Найти вероятность  того, что из 900 посеянных семян взойдет не менее 800.

55. Пусть вероятность того, что  покупателю необходима обувь  41 размера, равна 0,3. Найти вероятность  того, что из 750 покупателей не  более 230 потребуют обувь этого  размера.

56. Предприятие имеет 2400 агрегатов. В каждый агрегат входит деталь, вероятность выхода из строя которой за время t равна 1/6. Отдел снабжения заготовил 400 запасных деталей. Найти вероятность того, что это количество запасных деталей обеспечит бесперебойную работу всех агрегатов в течение времени t.

57. Определить вероятность того, что ширина взятой наугад панели выйдет за допустимые пределы  297,5 - 302,5 см, если среднее значение ширины равно 3 м, а среднеквадратическое отклонение  1,5 см.

58. Поперечные размеры перегородок,  выпускаемых ДСК, распределяются по нормальному закону со средним значением  8 см  и среднеквадратичным отклонением  0,5 см. Какова вероятность, что поперечный размер наудачу взятой перегородки будет лежать в пределах от 7,6  до  8,З см.

59. Размер детали, выпускаемой цехом, есть нормально распределенная случайная величина со средним значением 5см и дисперсией 0,81см2. Определить максимально допустимое  отклонние от среднего значения,   которое не будет превзойдено при контроле детали  с вероятностью 0,95.

60 Пусть величина силы, действующей на балку, является нормальной случайной величиной со средним значением   20 кг  и среднеквадратичным отклонением 4 кг. Найти вероятность того, что величина силы будет находиться в интервале от 24 кг до 32 кг. 

 

ЗАДАНИЕ № 7

Статистическая обработка данных  

 

Пример: Дана выборка значений, полученных при наблюдении случайной величины Х, объема  n  =  240.

Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии  и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью  γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения. Задаваясь уровнем значимости  α = 0,01, проверить гипотезу о нормальном законе распределения  X  с помощью критерия Пирсона. 

 

50,0	56,0	61,0	65,1	67,0	70,1	73,1	75,2	81,0	86,0	64,3	73,0
51,0	56,5	61,1	65,2	67,1	70,2	73,2	75,3	81,3	87,0	64,4	78,7
52,0	57,0	61,2	65,3	67,2	70,3	73,3	75,4	81,6	88,0	64,5	78,8
53,0	57,0	61,3	65,4	67,3	70,4	73,4	75,6	81,9	89,0	64,6	78,9
54,0	57,0	61,4	65,5	67,4	70,5	73,5	75,8	82,2	90,0	64,7	79,0
55,0	58,0	61,5	65,6	67,5	70,6	73,6	76,0	82,5	70,0	64,8	79,2
59,0	61,6	65,7	67,6	70,7	73,7	76,1	82,8	83,7	74,4	64,9	79,4
59,0	61,7	65,8	67,7	70,8	73,8	76,2	83,1	84,0	74,5	65,0	79,6
60,0	61,8	65,9	67,8	70,9	73,9	76,3	83,4	84,3	74,6	68,0	79,8
62,0	66,0	67,9	71,0	74,0	76,4	84,6	74,2	78,5	75,0	69,9	80,0
62,1	66,1	68,0	71,1	73,0	76,5	84,9	74,3	78,6	64,2	74,0	77,5
62,2	66,2	68,1	71,2	73,1	76,6	63,2	67,1	69,0	72,1	74,1	77,6
62,3	66,3	68,2	71,3	73,2	76,7	63,3	67,2	69,1	72,2	74,2	77,7
62,4	66,4	68,3	71,4	73,3	76,8	63,4	67,3	69,2	72,3	74,3	77,8
62,5	66,5	68,4	71,5	73,4	76,9	63,5	67,4	69,3	72,4	74,4	77,9
62,6	66,6	68,5	71,6	73,5	77,0	63,6	67,5	69,4	72,5	74,5	78,0
62,7	66,7	68,6	71,7	73,6	77,1	63,7	67,6	69,5	72,6	74,6	78,1
62,8	66,8	68,7	71,8	73,7	77,2	63,8	67,7	69,6	72,7	74,7	78,2
62,9	66,9	68,8	71,9	73,8	77,3	64,0	67,8	69,7	72,8	74,8	78,3
63,0	67,0	68,9	72,0	73,9	77,4	64,1	67,9	69,8	72,9	74,9	78,4
50,0	56,0	61,0	65,1	67,0	70,1	73,1	75,2	81,0	86,0	64,3	73,0
51,0	56,5	61,1	65,2	67,1	70,2	73,2	75,3	81,3	87,0	64,4	78,7
52,0	57,0	61,2	65,3	67,2	70,3	73,3	75,4	81,6	88,0	64,5	78,8

 

 

Решение:

1. По формуле Стрэджеса определим  оптимальное число интервалов группировки данных  m = 1 + 2,7×lgN = 1+2,3lg240 = 7,5. Примем m = 8  и ширину каждого интервала d = (X_max - X_min)/m = (90 - 50)/8 = 5. Вычислим середины интервалов  X_i^ср,  найдем частоты n_i  попадания в каждый из интервалов, накопленные частоты  Sn_i  и получим эмпирические закон и функцию распределения в форме таблицы  

 

Х	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90
Хiср	52,5	57,5	62,5	67,5	72,5	77,5	82,5	87,5
ni	6	9	38	61	66	41	14	5
Sni	6	15	53	114	180	221	235	240

 

 

Для наглядного представления построим полигон частот и

  ^{ni Х}

гистограмму,

^{ni/d Х}

и эмпирическую функцию распределения

^{Sni Х} 

 

2. Вычислим статистические оценки  параметров распределения:

Cреднее значение  Х_ср =  ,  Х_ср = = 70,3

Исправленную дисперсию  S² = = =50,9 и

Исправленное среднее квадратичное отклонение ,   S = = 7,13

3. Задаваясь доверительной вероятностью  g = 0,98, найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

По таблице распределения Стьюдента, Приложение 3, для  g = 0,99  и n > 120  имеем коэффициент t_g = 2,58  и математическое ожидание 

а = Х_ср ± t_gS/ = 70,3 ± 1,2,                     69,1 < а < 71,5.

По таблице распределения  c², Приложение 4, для g = 0,99  и числа значений  n = 240  имеем коэффициент  q = 0,12  и находим для среднего квадратичного отклонения

s = S ± qS = 7,13 ± 0,86 ,                        6,27 < s < 7,99.

4. Проверим гипотезу о нормальном  распределении с помощью критерия  Пирсона, при уровне значимости  a=0,01, означающем вероятность (риск) совершить ошибку при проверке гипотезы, а именно принять верной ошибочную гипотезу. По таблице Приложения 5 для числа степеней свободы  к = 8 – 3 = 5  имеем критическое значение  c²_кр =15,1, для которого  Р(c²>c²_кр) = a = 0,01.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона  c²_набл = , _{где  niт = n[F( ) - F( )] – теоретические частоты,}

Х_i^прав, Х_i^лев – соответственно правая и левая границы интервалов разбиения данных. Результаты вычислений приведем в таблице  

 

Х	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90
ni	6	9	38	61	66	41	14	5
niт	3,6	15,1	38,6	61,9	61,9	38,6	15,1	3,6
(ni-niт)2/niт	1,6	2,48	0,01	0,01	0,27	0,14	0,08	0,54

 

 

Получим  c²_набл = 5,14 < 15,1 = c²_кр, т.е. гипотезу о нормальном распределении случайной величины  Х  принимаем. 

 

Контрольные задачи   61 – 70

Даны результаты наблюдений случайной  величины  X.

1. Построить полигон, гистограмму,  эмпирическую функцию распределения.

2. Найти оценки математического  ожидания, дисперсии и среднего  квадратичного отклонения исследуемой случайной величины.

3. Задаваясь доверительной вероятностью  γ, найти доверительные интервалы  для математического ожидания  и среднего квадратичного отклонения.