Контрольная работа по "Теории вероятностей"

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ  

 

ЗАДАНИЕ № 1 

Вычисление вероятностей с помощью  формул комбинаторики 

 

Пример:  В партии из  N = 10  деталей имеется L = 7  стандартных.

Наудачу отобраны  k = 6  деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно r = 4  стандартных.

Решение: Число n  всех возможных элементарных исходов выбора равно числу способов, которыми можно извлечь k  деталей из  N  деталей, т.е.  n = – числу сочетаний из  N элементов по  k.

n =    =    =    = 210

Подсчитаем число исходов, составляющих интересующее нас событие А – (среди k  деталей ровно r  стандартных). Из  k  стандартных деталей взять r  стандартных деталей можно   способами,  при этом  остальные k – r  деталей должны быть нестандартными; взять их из  N – L  нестандартных деталей можно    способами. Число m  всех благоприятствующих  А  исходов равно произведению  m = · .

m  =  ·   =  ·   =  ·   =  105.

Вероятность события  А  равна отношению m – числа исходов, благоприятствующих событию А,  к n – числу всех возможных элементарных исходов

Р(А)  =    =      =  0,5.

Контрольные задачи 1 – 10

1. Из 100 изготовленных пальто оказалось  7 третьего сорта, а остальные  пальто первого и второго сорта.  Какова вероятность, что пять  отобранных пальто будут первого или второго сорта.

2. Студент знает 30 из 40 вопросов  программы. Каждый билет содержит  два вопроса программы. Найти  вероятность того, что студент  знает оба вопроса билета.

3. Из урны, в которой 30 шаров  белых и 4 красных, наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы один красный шар.

4. В партии из 10 приборов 8 не  имеют дефекта. Найти вероятность  того, что из двух наудачу взятых  приборов хотя бы один без  дефекта.

5. Из полного набора костей  домино наугад берут 3 кости.  Какова вероятность того, что хотя бы две из них дубли?

6. Открываются одна за другой  карты колоды из 36 штук. Какова  вероятность того, что первой  картой пиковой масти окажется  пятая карта? 

7. В урне 6 белых и 5 красных шаров. Наугад последовательно без возврата вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара красные.

8. Среди 17 студентов группы, из которых восемь девушек, разыгрывается семь билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся четыре девушки?

9. Партия из 100 изделий содержит 40 изделий 1–го сорта, а остальные  второго сорта. Наудачу берут  4 изделия, найти вероятность того, что все они будут одного  сорта.

10. Найти вероятность того, что  в 4-х значном номере наудачу  взятой машины: а) все цифры различны, б) все цифры одинаковы. 

 

 

  

 

 

 

ЗАДАНИЕ № 2 

Вычисление вероятностей независимых  событий 

 

Пример: Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих автомата – сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна  p₁ = 0,95, второй – p₂ = 0,9. Найти вероятность события А – при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора.

Решение: Событие А  может осуществиться, если произойдет одно из следующих событий: сработает первый сигнализатор и одновременно не сработает второй – А_{1 2}; сработает второй сигнализатор и одновременно не сработает первый – ₁А₂; одновременно сработают оба сигнализатора – А₁А₂, т.е.  А = А_{1 2} + ₁А₂ + А₁А₂. Вероятности противоположных событий ₁  и  ₂ соответственно равны  q₁ = 1 – p₁ = 0,05  и q₂ = 1 – p₂ = 0,1. События, составляющие  А,  несовместны (не могут произойти одновременно), поэтому вероятность события А  равна

Р(А) = Р(А_{1 2}) + Р( ₁А₂) + Р(А₁А₂) = p₁·q₂ + q₁·p₂ + p₁· p₂ = 0,995.

2–й способ: Событие   противоположное А  произойдет, если одновременно не сработают оба сигнализатора – _{1 2}. Тогда вероятность события А  равна        

Р(А) = 1 – Р( _{1 2})  = 1 – q₁·q₂ = 1 – 0,005 = 0,995 

 

Контрольные задачи  11 – 20 

 

11. Трое охотников одновременно выстрелили в зайца. Найти вероятность того, что заяц будет убит, если каждый из охотников убивает зайца с вероятностью  0,5; 0,7  и  0,9  соответственно.

12. Два студента ищут нужную  книгу в магазинах. Вероятность  того, что книга будет найдена  первым студентом, равна 0,6, а вторым - 0,7. Найти вероятность того, что только один студент найдет книгу.

13. В электрической цепи 3 элемента, которые выходят из строя независимо  друг от друга с вероятностями  0,3; 0,2 и 0,1. Определить вероятность  разрыва цепи при параллельном соединении элементов.

14. Вероятность наличия нужного  материала на 1–й базе равна  0,9,  на 2–й – 0,95, на 3–й –  0,8, на 4–й – 0,6. Найти вероятность  того, что только на одной базе  окажется нужный материал.

15 Два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком 0,7, а вторым равна 0,6. Найти вероятность того, что а) мишень будет поражена; б) только одно попадание в цель.

16. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,7. Найти вероятность того, что в течение часа только один станок не потребует внимания рабочего.

17. . Вероятность наличия нужного  материала на 1–й базе равна  0,9,  на 2–й – 0,95, на 3–й – 0,8, на 4–й – 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

18. В электрической цепи 3 элемента, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,1. Определить вероятность разрыва цепи при последовательном соединении этих элементов.

19. Вероятность безотказной работы  блока, входящего в систему,  составляет 0,8. Для повышения надежности  устанавливают такой же резервной  блок. Найти вероятность безотказной  работы блока.

20. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятности зачисления в сборную команду первого, второго и третьего спортсмена соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6, Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов войдет в сборную.  

 

 

 

ЗАДАНИЕ № 3 

Формула полной вероятности 

 

Пример: За различными материалами послана автомашина наудачу на одну из трех баз. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй - 0,8, на третьей - 0,6. Найти вероятность того, что автомашина не привезет нужного материала.

Решение: Для получения нужного материала необходимо выбрать одну из баз. События Н₁, Н₂, Н₃ - взятие материала с определенных баз составляют полную группу событий, примем эти события за гипотезы,   их вероятности равны  Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1/3, т.к. гипотезы равновозможные. Условные вероятности события А – (нет нужного материала) соответственно равны  Р(АïН₁) = 1 – 0,9 = 0,1,  Р(АïН₂) = 0,2,  Р(АïН₃) = 0,4. Тогда по формуле полной вероятности получим

Р(А) = Р(АïН₁)·Р(Н₁) + Р(АïН₂)·Р(Н₂) + Р(АïН₃)·Р(Н₃) = 0,175. 

 

Контрольные задачи  21 – 30

21. В одной урне 5 белых и 8 красных,  а в другой 10 белых и 6 красных  шаров. Наудачу вынимают один  шар. Какова вероятность того, что он белого цвета?

22. Вероятность выполнить работу без ошибок для 10–ти студентов из группы равна 0,95; для 15–ти – 0,7, а для 3–х  остальных – 0,2. Преподаватель берет наудачу одну тетрадь для проверки. Какова вероятность того, что работа выполнена без ошибок?

23. На сборку поступило 3000 деталей с первого станка и 2000 со второго. Первый станок дает 0,2%, а второй 0,3% брака. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из не рассортированной продукции станков окажется бракованной. 

 

24. Имеется 2 партии одинаковых  изделий из 10 и 12 штук, причем в каждой партии по одному бракованному изделию. Наудачу взятое изделие из первой партии переложили во вторую, после чего наудачу взяли изделие из 2–й партии. Найти вероятность того, что оно бракованное.

25. В сосуд, содержащий 5 шаров,  опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из него белый шар, если предположения о первоначальном присутствии в сосуде от 0 до 5 белых шаров равновозможны?

26. Радиолампа, вставленная в телевизор,  может принадлежать к одной  из партий с вероятностями: 0,3: 0,2; 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий равны соответственно: 0,9; 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов,  если она выбрана наудачу.

27. Студенту нужна книга, которая  может находиться в одной из 4–х библиотек с вероятностями 0,8; 0,7; 0.9; 0,75. Студент пошел в наудачу выбранную библиотеку. Какова вероятность того, что он получит книгу?

28. Команда разделена на 3 группы: старшая –5 человек, средняя  – 4 человека, младшая – 10 человек.  Вероятности занять первое место для членов каждой группы равны соответственно 0,2; 0,15; 0,1. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен станет чемпионом?

29. В ящиках находятся соответственно: I) 2 белых и 3 черных шара; 2) 4 белых и 3 черных шара: 3) 6 белых и 2 черных шара. Из наудачу выбранного ящика вынимают шар. Найти вероятность того, что он белый.

30. Легковые и грузовые автомобили  в транспортном потоке мимо  АЗС встречаются в отношении  5:3. На заправку заезжает каждая 8-я легковая и каждая 12-я грузовая. Какова вероятность того, что подъезжающая машина заедет на заправку? 

 

 

  

 

ЗАДАНИЕ № 4 

Формула Бернулли 

 

Пример: При массовом производстве деталей вероятность брака равна р = 0,1. Какова вероятность, что из 20 наугад взятых деталей: а) 5 бракованных; б) более 2-х бракованных?

Решение: Вероятность наугад взять одну бракованную деталь  р= 0,1, вероятность наугад взять одну хорошую деталь  q = 1 – р = 0,9, вероятность события А – из  n = 20 деталей взять k = 5 бракованных по формуле Бернулли Р_n^k =  C_n^kp^kq^n–k  равна

Р(А) = Р₂₀⁵=  C₂₀⁵·0,1⁵·0,9¹⁵  =  0,032.

Вероятность события  В – из  n = 20 деталей взять k > 2 бракованных равна   Р(k > 2) = 1 – Р(k £ 2) = 1 – (Р₂₀⁰ + Р₂₀¹ + Р₂₀²) = 1 – (C₂₀⁰·0,1⁰·0,9²⁰ + + C₂₀¹·0,1¹·0,9¹⁹ + C₂₀²·0,1²·0,9¹⁸) = 0,32.    

 

Контрольные задачи  31 - 40

31. Вратарь берет 1/3 ударов. Найти  вероятность того, что он возьмет  хотя бы 2 из 4 мячей.

32. Найти вероятность того, что  при 4–х подбрасываниях игральной  кости выпадет хотя бы один  раз четное число очков.

33. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей: а) все пять первых покупателей потребуют обувь 41 размера; б) хотя бы один покупатель потребует обувь 41 размера; в) не менее двух  покупателей потребует обувь 41 размера.

34. Среди вырабатываемых рабочим  деталей в среднем 4% брака.  Какова вероятность того, что  среди взятых на испытание  пяти деталей:  а) не найдется  ни одной бракованной: б) хотя  бы одна  бракованная.

35. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов выиграет: а) по всем пяти билетам; б) хотя бы по одному билету; в) ни по одному билету.

36. На автобазе имеется 12 автомашин.  Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее восьми автомашин.

37. Всхожесть семян некоторого  растения составляет 70%. Какова вероятность  того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) восемь семян; б) по крайней мере восемь; в) не менее трех.

38. Пусть вероятность того, что  наудачу взятая деталь нестандартная,  равна 0,1. Найти  вероятность  того, что среди взятых наудачу  шести деталей не более двух  окажутся нестандартными.

39. Пусть вероятность того, что  телевизор потребует ремонта  в течение гарантийного срока,  равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного  срока из шести телевизоров:  а) не более одного потребует  ремонта; б) хотя бы один  потребует ремонта.

40. Вероятность изготовления стандартной  детали равна 0,9. Какова вероятность  того, что среди 10 деталей окажется  не более одной нестандартной?

ЗАДАНИЕ № 5 

Формула Пуассона  

 

Пример: Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что в данную минуту она получит точно 2 вызова?

Решение:  Ожидаемое за минуту среднее число вызовов равно  λ = np = = 5. Вероятность события А – за минуту ровно  k = 2 вызова по формуле Пуассона  Р(к, l )=  равна

Р(А) = Р(2,5 )=   =    =  0,084  

 

Контрольные задачи 41 – 50