Контрольная работа по "Математике"

Пересекающиеся прямые лежат в  одной плоскости, а значит в-ры будут  компланарны.

              х₂-х₁    у₂-у₁    z₂-z₁

det A=     1₁         m₁ n₁ =0

                1₂        m₂       n₂

4) Могут скрещиваться (не имеют  оющих точек), то условие 3) нарушено det A<>0. Прямые не принадлежат одной плоскости. Взаимное расположение прямых в пространстве характеризуется кол-вом решений системы:

1. Если прямые совпадают, то  система имеет бесконечное множество  решений.

2. Если пересекаются – одно  решение.

3. Если параллельны, скрещиваются, то решений нет.

Угол между  плоскостью и прямой в пространстве.

sin φ= nS\/n/*/S/=Al+Bm+Cn\±√A²+B²+С²√1²+m²+n²

1. Если прямая 1 параллельна П  , то вектора n и S будут ортогональны, условие параллельности имеет вид: Al+Bm+Cn=0.

2. Если прямая перпендикулярна  плоскости, то в-ра будут параллельны  или коллинеарны: A\l=B\m=C\n

 

 

 

Билет №28 (31)

Кривые 2 порядка.

 в прямой с-ме координат описывается ур-ем вида:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

A²+B²+C²<>0

Окружность  – геометрическое место точек равноудаленных от фиксир. точки (центр окр-ти).

Получим ур-е окр-ти R-радиуса с центром в точке С(a,b).

Перемещ. т. М(x,у) опишет окр-ть только в том случае, если будет выполн. рав-во: /CМ/=R- ур-е окр-ти в векторной форме.

СМ=(х-а, у-в)

R=√ (х-а)²+ (у-в)²

(х-а)²+ (у-в)²=R² – ур-е окружности с центром в т. С(а, в)

х²+у²=R² – если центр совпадает с началом координат.

Парабола.

Геометрическое место точек  на п-ти, равноудаленных от фиксированной  точки и от фиксированной прямой наз. параболой.

Фиксир. точка (F) – фокус параболы, фиксир. прямая – директрис параболы.

Прямая проходящая через фокус параболы наз. осью. Точки пересечения оси параболы с параболой наз. вершинами параболы (А). Эксцентриситет параболы равен 1.

Каноническое ур-е параболы: y²=2px

Виды параболы:

 

Билет №29

Эллипс.

Множество всех точек на п-ти для  которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть заданная постоянная величина наз. эллипс.

Расстояние между фокусами равно 2с, оно наз. фокальным расстоянием.

Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием  равным 2с  и параметром а. Положение эллипса на плоскости определяется парой точек фокусов.

Прямые наз. осями эллипса. Точка  пересечения, т. О является точкой симметрии  эллипса и наз. центром эллипса.

Точки пересечения эллипса с  осями наз. вершинами эллипса. Параметр а наз. большой полуосью эллипса, а параметр в наз. малой.

Каноническое  уравнение эллипса:

х²\а²+у²\в²=1

 Отношение фокального расстояния  эллипса к большой оси наз.  эксцентриситетом эллипса: Е=2с\2а=с\а. (0<Е<1)

 

Билет №30

Гипербола.

Геометрическое место точек  плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, есть величина постоянная, наз. гиперболой. 

Расстояние между фокусами фокального расстояния отрезки F₁M и F₂M – фокальные радиусы.

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием равным 2с  и значением постоянной величины 2а= разности фокальных радиусов.

Положение гиперболы на плоскости  полностью определяется положением фокусов.  Прямая проходящая через фокусы наз. действительной осью гиперболы. Прямая проходящая через середину отрезка фокусов перпендикулярных действительной осиназ. мнимой осью гиперболы. Постоянную величину а наз. действительной полуосью. Точка пересечения мнимой и действительной оси наз. центром гиперболы. Для гиперболы действительная ось должна быть не больше фокального расстояния 2с. Равенство а=с выполнено только для тух точек М, которые лежат на действительной оси вне отрезка F₁F₂.

Каноническое  ур-е гиперболы:

х²\а²-у²\в²=1

Вид гиперболы:

???????????????????????

Эксцентриситет гиперболы: Е=с\а, Е  принимает значения от 1 до +∞.

 

Билет №32 - 34

Поверхности 2 порядка.

П-ть τ- наз. п-тью вращения если она  образована окружностями с центрами на некоторой прямой 1 (1 – ось  вращения, кот. расположена в плоскостях перпендикулярных прямой 1).

        ____

F(±√x²+y², z)=0  Уравнение п-ти 2 порядка в общем виде.

К – коэффициент сжатия:

если К>1 то точки расположены  на одной прямой перпендикулярной оси  вращения сближаются в результате сжатия.

если 0<К<1 то происходит растяжение.

 Эллипсоиды.

- п-ть, которая получается при  вращении эллипса вокруг одной из осей симметрии.

Применив к эллипсоиду вращения преобразования сжатия п-ти xz получим эллипсоид общего вида:

x²\a²+k²y²\a²+z²\c²=1, a, b c – полуоси эллипсоида.

Если a,<>b<>c – трехосный эллипсоид.

При совпадении любых двух осей эллипсоид  будет наз. поверхностью вращения, если a=b=c=r – то эллипсоид перерождается в сферу.

Каноническое уравнение сферы: x²+y²+z²=R².

Гиперболоиды.

При вращении гиперболы вокруг одной  из ее осей симметрии получают поверхность, которая наз. гиперболоидом вращения.

1. Если ось вращения совпадает с действительной осью, то гиперболоид вращения будет состоять из двух частей – двуполостный гиперболоид вращения.

x²\a²+y²\b²+z²\c²=-1

2. Если гипербола вращения совпадает  мнимой осью- однополостный гиперболоид

По аналогии с эллипсоидом вращения применив к гиперболоиду вращения преобразования сжатия плоскости xz получим каноническое уравнение гиперболоида                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

-x²\a²-y²\b²+z²\c²=1

Параболоиды.

 Вращая параболу вокруг ее оси получаем поверхность вращения которая наз. параболоидом вращения, что бы вывести каноническое уравнение параболоида выберем прямоугольную систему координат совместив ось z с осью вращения, а плоскость xz с плоскостью параболы. Парабола в плоскости xz описывается уравнением x²=2pz.

Для получения уравнения поверхности  введем в замену х=±√х²+у²;    x²+у²=2pz. Применив к параболоиду вращения преобразования сжатия получаем: x²+k² у²=2pz

Каноническое уравнение параболоида:   x²\a²+y²\b²=2z

Метод сечений.

Метод состоит в анализе пересечений  поверхностей с плоскостями параллельными  координатным плоскостям.

Например: z=C, где С пробегает все возможные значения.

Пример: Исследовать вид гиперболического параболоида методом сечений и написать каноническое уравнение:

x²\a²-y²\b²=2z – каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Пересечение с плоскостями у=С (С-const) при любом значении С является параболой:

x²\a²-С²\b²=2z

x²=2a²(z+C²\2b²)

Пересечение с плоскостями x=С (С-const) при любом значении С является параболой.

Пересечение с плоскостями  z=С, задает гиперболу: x²\2Ca²-y²\2Cb²=1.

Обозначим, через Р₁ – параболу находящуюся в сечении у=0, а через Р₂ аналогичную в сечении х=0,  перемещая параболу Р₂ по параболе Р₁ получим седлообразную поверхность гиперболического параболоида, пересечение с плоскостями z=С являются гиперболами, а при C=0 парой пересекаемых прямых.

 

 

 

Билет №35

Конусы.

При вращении прямой 1 пересекаемой с  осью вращения образуется прямой круговой конус. Точка пересечения остается неподвижной и наз. вершиной конуса. Расположим ось х так что бы 1 находилась в координатной плоскости xz и тогда прямая 1 будет описываться уравнением: z=k₁x. В этой системе координат уравнение поверхности вращения получилось заменой  x=±√x²+y². Введя замену и выполнив преобразования, получим уравнение прямого кругового конуса: x²\a²+y²\b²=z²\c²

Применив преобразование сжатия, с коэффициент k получим каноническое ур-е эллиптического конуса:

x²\a²+y²\b²=z²\c²

 

Билет №36

Цилиндрические  поверхности.

При вращении прямой вокруг оси вращения параллельной этой прямой, образовывая  поверхность, которая наз. круговым цилиндром.

Если на поверхности зафиксировать  точку, то она опишет кривую, которая  наз. направляющая в цилиндрической поверхности; прямые наз. образующими цилиндрической поверхности.

В качестве направляющей можно выбрать  любую кривую. И в зависимости от этого, какой цилиндр получится.

Выберем прямую систему координат, так что бы образующие были параллельны  оси z.

Направляющая в плоскости ху описывается уравнением: f(x,y)=0

т.М лежит на цилиндрической поверхности  тогда и только тогда, когда ее абсцисса и ордината подчиняются  уравнению направляющей, поэтому  в выбранной системе координат  цилиндрическая поверхность описывается уравнением: f(x,y)=0

Критерием, для цилиндрической поверхности  является отсутствие в ее уравнении  одного из переменных.

Цилиндр 2 порядка – это цилиндрическая поверхность, направляющая в плоскости перпендикулярно образующей представляет собой кривую 2 порядка.

Общий вид уравнения цилиндра 2 порядка:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

A²+B²+C²<>0

Канонические уравнения цилиндра 2 порядка:

1. х²\а²+у²\в²=1 – эллиптический цилиндр.

2. х²\а²-у²\в²=1 – гиперболический цилиндр

3. y²=2px – параболический цилиндр.